Question

已知首项为x₁的数列{x_n}满足x_n+1=（a为常数）．
（1）若对于任意的x₁≠-1，有x_n+2=x_n对于任意的n∈N^*都成立，求a的值；
（2）当a=1时，若x₁＞0，数列{x_n}是递增数列还是递减数列？请说明理由；
（3）当a确定后，数列{x_n}由其首项x₁确定，当a=2时，通过对数列{x_n}的探究，写出“{x_n}是有穷数列”的一个真命题（不必证明）．说明：对于第3题，将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出x_n+2，代入x_n+1化简后等于x_n，得到a²x_n=（a+1）x_n²+x_n，当n=1时，由x₁的任意性得得到a的值即可；
（2）数列为递减数列，因为当a=1且x₁＞1得到x_n＞0，而x_n+1-x_n=-x_n=-＜0，所以得证；
（3）由a=2得到数列{x_n}满足x_n+1=，因为{x_n}是有穷数列，可以令x₁=-得到即可．
解答：解：（1）∵x_n+2====x_n
∴a²x_n=（a+1）x_n²+x_n，当n=1时，由x₁的任意性得，∴a=-1．
（2）数列{x_n}是递减数列．
∵x₁＞0.
∴x_n＞0，n∈N^*又x_n+1-x_n=-x_n=-＜0，n∈N^*，
故数列{x_n}是递减数列．
（3）满足条件的真命题为：数列{x_n}满足x_n+1=，若x₁=-，则{x_n}是有穷数列．
点评：考查学生会利用数列的递推式解决数学问题，会判断一个数列是递减或递增数列．