Question

【题目】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．

（Ⅰ）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

（Ⅱ）设点，若直线与曲线交于，两点，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）曲线的普通方程为；直线的直角坐标方程为；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）消去参数可得曲线的普通方程，利用极坐标与直角坐标互化的方法确定直线的直角坐标方程即可；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，点在直线上，联立直线的参数方程与C的直角坐标方程，结合直线的几何意义可得的值.

（Ⅰ）由，消去参数可得，故曲线的普通方程为．

由，可得，即，

将，代入上式，可得，

故直线的直角坐标方程为．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，点在直线上，可设直线的参数方程为（为参数），

将，代入，化简可得，

设，两点对应的参数分别为，，则，

所以．