Question

对于函数y=f（x），若同时满足下列条件：
①函数y=f（x）在定义域D内是单调递增或单调递减函数；
②存在区间[a，b]⊆3D，使函数f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，则称f（x）是D上的闭函数．
（1）求闭函数f（x）=-x³符合条件②的区间[a，b]；
（2）判断函数g（x）=

3

4

x+

1

x

，在区间（0，+∞）上是否为闭函数；
（3）若函数φ（x）=k+

x+2

是闭函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用函数f（x）=-x³在R上为单调减函数的特点，由f（a）=b，f（b）=a列方程即可解得a，b
（2）根据求导公式求出g′（x），并求出g（x）的单调区间，判断其在（0，+∞）不具有单调性，再据闭函数的定义判断；
（3）函数φ（x）=k+

x+2

在[-2，+∞）单调递增，根据闭函数的定得f（a）=a，f（b）=b，列出方程组后得：a、b是此方程组的解，再对k进行分类讨论，分别转化为二次函数根的分布问题，列对应的不等式即可得k的取值范围．

解答：解：（1）∵y=-x³是[a，b]上的减函数，
∴

f(a)=-a3=b f(b)=-b3=a.

∴

b

a

=

-a3

-b3

=(

a

b

)3．
∴（

a

b

)4=1，∴

a

b

=±1
又∵-a³=b，∴

a=-1 b=1

．
∴所求区间为[-1，1]．
（2）∵g′（x）=

3

4

-

1

x2

，x∈（0，+∞），
令g′（x）=

3

4

-

1

x2

＞0，得x＞

2 3

3

，
∴x＞

2 3

3

时，g（x）为（

2 3

3

，+∞）上的增函数．
令g′（x）=

3

4

-

1

x2

＜0，得0＜x＜

2 3

3

∴g（x）为（0，

2 3

3

）上的减函数．
∴g（x）不是（0，+∞）上的单调函数．
∴g（x）不是（0，+∞）上的闭函数．
（3）易知φ（x）是[-2，+∞]上的增函数．
设φ（x）=k+

x+2

满足条件②的区间是[a，b]，
∴

?(a)=k+ a+2 =a ?(b)=k+ b+2 =b.

即a，b是方程x=k+

x+2

的两个不等实根．
也就是方程组

x2-(2k+1)x+(k2-2)=0 x≥-2 x≥k

有两个不等实根a，b．
①当k≤-2时，方程x²-（2k+1）+（k²-2）=0在[-2，+∞）上有两个不等实根．
∴

2k+1 2 ＞-2 △=(2k+1)2-4(k2-2)＞0 (-2)2-(2k+1)(-2)+(k2-2)≥0.

解得：-

9

4

＜k≤-2．
②当k＞-2时，方程x²-（2k+1）x+（k²-2）=0在[k，+∞）上有两个不等实根．
∴

2k+1 2 ＞k △=(2k+1)2-4(k2-2)＞0 k2-(2k+1)k+(k2-2)≥0.

解得：-

9

4

＜k≤-2，与条件k＞-2矛盾．
∴φ（x）=k+

x+2

是闭函数，实数k的取值范围是-

9

4

＜k≤-2．

点评：本题考查了新定义型函数的理解和运用能力，函数单调性的应用，以及问题的等价转化能力和分类讨论思想．