Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆，其右焦点F到其右准线的距离为1，离心率为，A，B分别为椭圆的上、下顶点，过点F且不与x轴重合的直线l与椭圆交于C，D两点，与y轴交于点P，直线与交于点Q.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）当时，求直线的方程；

（3）求证：为定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

（1）根据题意列出等式：，，联立即得解；

（2）设直线l的方程为，与椭圆联立，利用弦长公式表示，代入求解即可；

（3）设，，表示方程，联立得到的坐标，利用韦达定理化简，利用坐标表示，可得证.

（1）解：由题意可知，所以，，所以，

所以椭圆的标准方程为

（2）解：因为直线l不与x轴重合，所以斜率不为0.

因为l过点，所以设直线l的方程为.

由，得.

设，，则，，

则

因为，所以，得，所以，

所以直线l的方程为

（3）证明：在中令得，所以.

而直线的方程为，直线的方程为.

由此得到

.

不妨设，则①，②，

所以③.

将①②③代入式，得

，

所以为定值