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    已知函数f（x）=
    1a-x
    -1    （其中a为常数，x≠a）．利用函数y=f（x）构造一个数列{xn}，方法如下：
    对于给定的定义域中的x1，令x2=f（x1），x3=f（x2），…，xn=f（xn-1），…
    在上述构造过程中，如果xi（i=1，2，3，…）在定义域中，那么构造数列的过程继续下去；如果xi不在定义域中，那么构造数列的过程就停止．
    （Ⅰ）当a=1且x1=-1时，求数列{xn}的通项公式；
    （Ⅱ）如果可以用上述方法构造出一个常数列，求a的取值范围；
    （Ⅲ）是否存在实数a，使得取定义域中的任一实数值作为x1，都可用上述方法构造出一个无穷数列{xn}？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
    分析：（Ⅰ）当a=1时，f(x)=
    x
    1-x
    ，所以，xn+1=
    xn
    1-xn
    ．两边取倒数，得
    1
    xn+1
    =
    1-xn
    xn
    =
    1
    xn
    -1    ，由等差数列定义求解．
    （Ⅱ）构造出一个常数列，即：当x≠a时，方程f（x）=x有解，即方程x2+（1-a）x+1-a=0有不等于a的解．由△=（1-a）2-4（1-a）≥0求解．
    （Ⅲ）用上述方法构造出一个无穷数列{xn}，即：
    x+1-a
    a-x
    =a在R中无解．即当x≠a时，方程（1+a）x=a2+a-1无实数解．则有
    1+a=0
    a2+a-1≠0.
    求解，有解则存在，无解则不存在．
    解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=
    x
    1-x
    ，
    所以，xn+1=
    xn
    1-xn
    ．
    两边取倒数，得
    1
    xn+1
    =
    1-xn
    xn
    =
    1
    xn
    -1，
    即
    1
    xn+1
    -
    1
    xn
    =-1．又
    1
    x1
    =-1，
    所以数列{
    1
    xn
    }是首项为-1，公差d=-1的等差数列．（3分）
    故
    1
    xn
    =-1+（n-1）•（-1）=-n，
    所以xn=-
    1
    n
    ，
    即数列{xn}的通项公式为xn=-
    1
    n
    ，n∈N*．（4分）
    （Ⅱ）根据题意，只需当x≠a时，方程f（x）=x有解，（5分）
    即方程x2+（1-a）x+1-a=0有不等于a的解．
    将x=a代入方程左边，左边为1，与右边不相等．
    故方程不可能有解x=a．（7分）
    由△=（1-a）2-4（1-a）≥0，得a≤-3或a≥1．
    即实数a的取值范围是（-∞，-3]∪[1，+∞）．（10分）
    （Ⅲ）假设存在实数a，使得取定义域中的任一实数值作为x1，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{xn}，那么根据题意可知，
    x+1-a
    a-x
    =a在R中无解，（12分）
    即当x≠a时，方程（1+a）x=a2+a-1无实数解．
    由于x=a不是方程（1+a）x=a2+a-1的解，
    所以对于任意x∈R，方程（1+a）x=a2+a-1无实数解，
    因此
    1+a=0
    a2+a-1≠0.
    解得a=-1．
    故a=-1即为所求a的值．（14分）
    点评：本题主要考查函数与数列的综合运用，主要涉及了等差数列的定义，通项数列的存在性与方程有无根的关系．属中档题．
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    1
    |x|
    ，g（x）=1+
    x+|x|
    2
    ，若f（x）＞g（x），则实数x的取值范围是（　　）
    A、（-∞，-1）∪（0，1）
    B、(-∞，-1)∪(0，
    -1+
    		5
    2
    )
    C、(-1，0)∪(
    -1+
    		5
    2
    ，+∞)
    D、(-1，0)∪(0，
    -1+
    		5
    2
    )

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    1
    2
    ，2    ]上的最大值和最小值；
    （3）当a=1时，求证对任意大于1的正整数n，lnn＞
    1
    2
    +
    1
    3
    +
    1
    4
    +    …+
    1
    n
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