Question

（2009•黄浦区二模）已知点P（0，b）是y轴上的动点，点F（1，0）、M（a，0）满足PM⊥PF，动点N满足2

PN

+

NM

=

0

．
（1）求动点N所在曲线C的方程．
（2）已知点D（1，2）在曲线C上，若曲线C上两点A、B（都不同于D点）满足DA⊥DB，试证明直线AB必过定点，并求出这个定点的坐标．

Answer 1

分析：（1）设动点N（x，y），由于PM⊥PF，动点N满足2

PN

+

NM

=

0

．用坐标表示向量，可得坐标之间的关系，进而化简方程即可；
（2）利用DA⊥DB，用坐标表示对应的向量，从而有数量积为0，进而有y₁y₂=-2（y₁+y₂）-20．代入直线AB的方程，即可知直线恒过定点．

解答：解：（1）设动点N（x，y）．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（1分）
依据题意，有

PN

=(x，y-b)，

PM

=(a，-b)，

PF

=(1，-b)，

NM

=(a-x，-y)．（3分）
又PM⊥PF，2

PN

+

NM

=

0

，则

PM • PF =0 2 PN =- NM

，进一步有

a+b2=0 x=-a y=2b

．
因此，y²=4x（x≥0）．　     （7分）
所以曲线C的方程是y²=4x（x≥0）．　　　　　　　　　　　 　 　　　（8分）
证明　（2）因A、B是曲线C：y²=4x（x≥0）上不同于D点的两点，
可设A(

y 2 1

4

，y1)、B(

y 2 2

4

，y2)(y1≠y2，

y

1

与y2都不等于2)，则

DA

=(

y 2 1

4

-1，y1-2)、

DB

=(

y 2 2

4

-1，y2-2)，

AB

=(

y 2 2

4

-

y 2 1

4

，

y

2

-y1)．                     （10分）
又DA⊥DB，故

DA

•

DB

=0，即(

y 2 1

4

-1)(

y 2 2

4

-1)+(y1-2)(y2-2)=0，
进一步化简得y₁y₂=-2（y₁+y₂）-20．　　　　　　　　　　　　　　　　　　    　 　（12分）
由直线AB的法向量为

n

=(

y

1

-y2，

y 2 2

4

-

y 2 1

4

)，可得直线AB的方程：(y1-y2)•(x-

y_2

4

)+(

y 2 2

4

-

y 2 1

4

)(y-y1)=0，
即x-

y1+y2

4

y+

y1y2

4

=0．把y₁y₂=-2（y₁+y₂）-20代入此方程，得x-

y1+y2

4

y-

2(y1+y2)

4

-5=0．（14分）
进一步把直线AB的方程化为(x-5)-

y1+y2

4

(y+2)=0，知其恒过定点（5，-2）．（15分）
所以直线AB：x-

y1+y2

4

y-

y1+y2

2

-5=0恒过定点，且定点坐标为（5，-2）．   　（16分）
证毕！

点评：本题的考点是直线与圆锥曲线的位置关系，主要考查轨迹方程的求解，考查直线恒过定点问题，关键是用坐标表示向量，利用向量的数量积为0解决，恒过定点应注意其求解的策略．