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12、如图,A,B,C,D四点都在平面a,b外,它们在a内的射影A1,B1,C1,D1是平行四边形的四个顶点,在b内的射影A2,B2,C2,D2在一条直线上,求证:ABCD是平行四边形.
分析:先说明A,B,C,D四点共面,再根据平面ABB1A1与平面CDD1C1平行的性质定理可知平面ABCD与平面ABB1A1的交线AB,与平面CDD1C1的交线是CD,AB∥CD,AD∥BC,从而问题得证.
解答:证明:∵A,B,C,D四点在b内的射影A2,B2,C2,D2在一条直线上,
∴A,B,C,D四点共面.
又A,B,C,D四点在a内的射影A1,B1,C1,D1是平行四边形的四个顶点,
∴平面ABB1A1∥平面CDD1C1
∴AB,CD是平面ABCD与平面ABB1A1,平面CDD1C1的交线.
∴AB∥CD.同理AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
点评:本小题主要考查平面与平面平行的性质,以及平面的基本性质及推论,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题.
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