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如图,F是定直线l外的一个定点,C是l上的动点,有下列结论:若以C为圆心,CF为半径的圆与l相交于A、B两点,过A、B分别作l的垂线与圆C过F的切线相交于点P和点Q,则必在以F为焦点,l为准线的同一条抛物线上.
(Ⅰ)建立适当的坐标系,求出该抛物线的方程;
(Ⅱ)对以上结论的反向思考可以得到另一个命题:“若过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于P、Q两点,则以PQ为直径的圆一定与抛物线的准线l相切”请问:此命题是正确?试证明你的判断;
(Ⅲ)请选择椭圆或双曲线之一类比(Ⅱ)写出相应的命题并证明其真假.(只选择一种曲线解答即可,若两种都选,则以第一选择为平分依据)

【答案】分析:(Ⅰ)由切线长相等可想过F作l的垂线交l于K,以KF的中点为原点,KF所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则抛物线为以F为焦点,l为准线的抛物线,由抛物线的定义可得抛物线的方程;
(Ⅱ)设出PQ的中点坐标,再分别设出P、Q、M在抛物线准线l上的射影分别为A、B、D,因为PQ是抛物线过焦点F的弦,由梯形中位线知识结合抛物线的定义可得以PQ为直径的圆一定与抛物线的准线l相切;
(Ⅲ)选择椭圆类比(Ⅱ)所写出的命题为:
“过椭圆一焦点F的直线与椭圆交于P、Q两点,则以PQ为直径的圆与椭圆相应的准线l相离”.
证明时由梯形中位线知识结合椭圆第二定义列式得到|MD|=
从而问题得到证明,同样选择双曲线进行类比.
解答:解:(Ⅰ)过F作l的垂线交l于K,以KF的中点为原点,KF所在直线为x轴建立平面直角坐标系如图1,
并设|KF|=p,则可得该抛物线的方程为 y2=2px(p>0);
(Ⅱ)该命题为真命题,证明如下:
如图2,设PQ中点为M,P、Q、M在抛物线准线l上的射影分别为A、B、D,
∵PQ是抛物线过焦点F的弦,
∴|PF|=|PA|,|QF|=|QB|,又|MD|是梯形APQB的中位线,
∴|MD=
∵M是以PQ为直径的圆的圆心,
∴圆M与l相切.
(Ⅲ)选择椭圆类比(Ⅱ)所写出的命题为:
“过椭圆一焦点F的直线与椭圆交于P、Q两点,则以PQ为直径的圆与椭圆相应的准线l相离”.
此命题为真命题,证明如下:
证明:设PQ中点为M,椭圆的离心率为e,
则0<e<1,P、Q、M在相应准线l上的射影分别为A、B、D,
,∴,同理得
∵MD是梯形APQB的中位线,
∴|MD|=
∴圆M与准线l相离.
选择双曲线类比(Ⅱ)所写出的命题为:
“过双曲线一焦点F的直线与双曲线交于P、Q两点,则以PQ为直径的圆与双曲线相应的准线l相交”.
此命题为真命题,证明如下:
证明:设PQ中点为M,椭圆的离心率为e,
则e>1,P、Q、M在相应准线l上的射影分别为A、B、D,
,∴,同理得
∵MD是梯形APQB的中位线,
∴|MD|=
∴圆M与准线l相交.
点评:本题考查了直线与圆锥曲线的综合问题,考查了数形结合的思想方法,综合考查了学生的类比推理能力和计算能力,是有一定难度题目.
练习册系列答案
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(Ⅰ)建立适当的坐标系,求出该抛物线的方程;
(Ⅱ)对以上结论的反向思考可以得到另一个命题:“若过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于P、Q两点,则以PQ为直径的圆一定与抛物线的准线l相切”请问:此命题是正确?试证明你的判断;
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C过F的切线交于点P和点Q,则P、Q必在以F为焦点,l为准线的同一条抛物线上.

(Ⅰ)建立适当的坐标系,求出该抛物线的方程;

(Ⅱ)对以上结论的反向思考可以得到另一个命题:

“若过抛物线焦点F的直线与抛物线交于P、Q两点,

则以PQ为直径的圆一定与抛物线的准线l相切”请

问:此命题是否正确?试证明你的判断;

(Ⅲ)请选择椭圆或双曲线之一类比(Ⅱ)写出相应的命题并

证明其真假.(只选择一种曲线解答即可,若两种都选,则以第一选择为评分依据)

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