分析 (1)由已知推导出AB⊥CD,CD⊥BC,从而CD⊥平面ABC,由此能证明不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.
(2)由已知推导出BE⊥AC,由AB2=AE•AC,得当$λ=\frac{6}{7}$时,平面BEF⊥平面ACD.
解答 证明:(1)∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥CD.
∵CD⊥BC,且AB∩BC=B,∴CD⊥平面ABC.
又∵$\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AD}=λ(0<λ<1)$,
∴不论λ为何值,恒有EF∥CD,
∴EF⊥平面ABC,EF?平面BEF,
∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.
解:(2)由(1)知,BE⊥EF,
又平面BEF⊥平面ACD,
∴BE⊥平面ACD,∴BE⊥AC.
∵BC=CD=1,∠BCD=90°,∠ADB=60°,
∴$BD=\sqrt{2},AB=\sqrt{2}tan{60°}=\sqrt{6}$,
∴$AC=\sqrt{A{B^2}+B{C^2}}=\sqrt{7}$
由AB2=AE•AC 得$AE=\frac{6}{{\sqrt{7}}}$,∴$λ=\frac{AE}{AC}=\frac{6}{7}$.
故当$λ=\frac{6}{7}$时,平面BEF⊥平面ACD.
点评 本题考查面面垂直的证明,考查使得面面垂直的两线段比值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
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A. | $\frac{3}{2}$ | B. | 3 | C. | 4 | D. | 6 |
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A. | 4 | B. | 3 | C. | 2 | D. | 0 |
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