【题目】2019年国庆节假期期间,某商场为掌握假期期间顾客购买商品人次,统计了10月1日7:00﹣23:00这一时间段内顾客购买商品人次,统计发现这一时间段内顾客购买商品共5000人次顾客购买商品时刻的的频率分布直方图如下图所示,其中时间段7:0011:00,11:0015:00,15:00~19:00,19:00~23:00,依次记作[7,11),[11,15),[15,19),[19,23].
(1)求该天顾客购买商品时刻的中位数t与平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);
(2)由频率分布直方图可以近似认为国庆节假期期间该商场顾客购买商品时刻服从正态分布N(μ,δ2),其中μ近似为,δ=3.6,估计2019年国庆节假期期间(10月1日﹣10月7日)该商场顾客在12:12﹣19:24之间购买商品的总人次(结果保留整数);
(3)为活跃节日气氛,该商场根据题中的4个时间段分组,采用分层抽样的方法从这5000个样本中随机抽取10个样本(假设这10个样本为10个不同顾客)作为幸运客户,再从这10个幸运客户中随机抽取4人每人奖励500元购物券,其他幸运客户每人奖励200元购物券,记获得500元购物券的4人中在15:00﹣19:00之间购买商品的人数为X,求X的分布列与数学期望;
参考数据:若T~N(μ,σ2),则①P(μ﹣σ<T≤μ+σ)=0.6827;②P(μ﹣2σ<T≤μ+2σ)=0.9545;③P(μ﹣3σ<T≤μ+3σ)=0.9973.
【答案】(1)16,15.8;(2)23895;(3)分布列见解析,
【解析】
(1)中位数t∈(15,19),4×(0.025+0.075)+(t﹣15)×0.100=0.5,再计算平均值得到答案.
(2)根据正态分布得到P(12.2<T<19.4)=0.6827,计算得到答案.
(3)X可能取值为0,1,2,3,4,计算概率得到分布列,再计算数学期望得到答案.
(1)根据题意,中位数t∈(15,19),
由4×(0.025+0.075)+(t﹣15)×0.100=0.5,得t=16,
4(9×0.025+13×0.075+17×0.100+21×0.050)=15.8;
(2)商场顾客购买商品时刻服从正态分布N(15.8,3.62),μ﹣δ=12.2,μ+δ=19.4,
所以2019年国庆节假期期间,商场顾客在12:12﹣19:24之间购买商品的概率为:
P(12.2<T<19.4)=0.6827,所以人数为5000×0.6827×7≈23895;
(3)根据题意X可能取值为0,1,2,3,4,
P(X=0),P(X=1),
P(X=2),P(X=3),P(X=4),
X的分布列如下
X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
P |
E(X)=012.
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【题目】已知椭圆:()的左、右焦点分别为和,右顶点为,且,短轴长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若过点作垂直轴的直线,点为直线上纵坐标不为零的任意一点,过作的垂线交椭圆于点和,当时,求此时四边形的面积.
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【题目】.极坐标系于直角坐标系有相同的长度单位,以原点为极点,以正半轴为极轴.已知曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为,射线,,,与曲线分别交异于极点的四点.
(1)若曲线关于曲线对称,求的值,并把曲线和化成直角坐标方程;
(2)设,当时,求的值域.
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【题目】关于函数有下述四个结论:
①f(x)是周期函数;②f(x)的图象关于直线x=2kπ(k∈Z)对称,
③f(x)在(﹣π,0)上没有零点;④f(x)的值域为,
其中正确结论的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
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【题目】如图,圆台的轴截面为等腰梯形,圆台的侧面积为.若点分别为圆上的动点,且点在平面的同侧.
(1)求证:;
(2)若,则当三棱锥的体积取最大值时,求多面体的体积.
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【题目】定义:若数列满足所有的项均由构成且其中有个,有个,则称为“﹣数列”.
(1)为“﹣数列”中的任意三项,则使得的取法有多少种?
(2)为“﹣数列”中的任意三项,则存在多少正整数对使得且的概率为.
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