Question

12、（1）以AB为直径的半圆上，除A、B两点外，另有6个点，又因为AB上另有4个点，共12个点，以这12个点为顶点共能组成多少个四边形？
（2）在角A的一边上有五个点（不含A），另一边上有四个点（不含A），由这十个点（含A）可构成多少个三角形？
（3）设有等距离的3条平行线和另外等距离的4条平行线相交，试问以这些交点为顶点的三角形的个数是多少？

Answer 1

分析：（1）分类讨论：A、B只含有一个点时，共有2（C³₆+C²₆C¹₄），既含A又含B时，共有C¹₆个，既不含A也不含B时，共有C⁴₁₀-1-C³₄C¹₆个，根据分类计数原理得到共有的个数．
（2）本题可以分类来解，当所取得三个点含A点时，可构成C¹₅C¹₄个三角形，当所取得三个点不含A点时，可构成C²₅C¹₄+C¹₅C²₄个三角形，根据分类计数原理得到结果．
（3）做出从12个点中取3个共有的结果，注意除了同一平行线上的点不能构成三角形以外，还要注意对角线上的点也不能构成三角形．用所有的结果减去不合题意的结果，得到共有C³₁₂-（C³₄×3+C³₃×4+4）个．

解答：解：（1）由题意知本题需要分类讨论：A、B只含有一个点时，共有2（C³₆+C²₆C¹₄）=160个；
既含A又含B时，共有C¹₆=15个；
既不含A也不含B时，共有C⁴₁₀-1-C³₄C¹₆=185个．
∴共有160+15+185=360个．
（2）由题意知本题可以分类来解，
含A点时，可构成C¹₅C¹₄=20个三角形；
不含A点时，可构成C²₅C¹₄+C¹₅C²₄=70个三角形．
故共有20+70=90个三角形．
（3）首先做出从12个点中取3个共有的结果，
注意除了同一平行线上的点不能构成三角形以外，还要注意对角线上的点也不能构成三角形．
共有C³₁₂-（C³₄×3+C³₃×4+4）=200个．

点评：本题考查排列组合的实际应用，考查计数原理的应用，考查构成三角形的条件，是一个综合题目，注意做题时做到不重不漏．