Question

如图所示，在xOy平面内，直线MN和y轴之间存在沿y轴负方向的匀强电场，在第Ⅳ象限和第I象限的射线0C右下区域存在垂直纸面向内的匀强磁场，磁感应强度大小为B．有一质量为m，带电量为+q的质点从电场左边界上的A点沿x轴正方向射入电场，A点与原点O的距离为d，质点到达y轴上P点时，速度方向与y轴负方向的夹角为θ=30°，P点与原点O的距离为h．接着，质点进入磁场，从磁场边界OC上的Q点（未画出）离开磁场之后，又从y轴上的D点垂直于y轴进入电场，最后刚好回到A点．不计质点的重力，求：
（1）D点与原点O的距离；
（2）粒子从A点射入的初速度v₀；
（3）粒子在磁场中的运动时间t．

Answer 1

分析：（1）质点先做类平抛运动，进入磁场后做圆周运动，粒子射出磁场后，做匀速直线运动，再次进入电场后又做类平抛运动．D点与原点O的距离就是D点的纵坐标数值，也就是Q点的纵坐标数值，由于质点从y轴上的D点垂直于y轴进入电场，最后刚好回到A点，由两次类平抛运动的水平位移相等，以及两次运动的速度间的关系，可得D点与原点O的距离
（2）由粒子在匀强磁场中运动的轨迹寻找几何关系确定圆周运动的轨道半径，由半径公式得到粒子在P点的速度，对于粒子从A到P应用动能定理可得粒子在A点射入的初速度
（3）由粒子在匀强磁场中运动的轨迹寻找几何关系确定轨迹对应的圆心角，结合周期公式得到粒子在磁场中的运动时间t

解答：解：（1）设质点进入磁场的速度为v，质点到达y轴上P点时，速度方向与y轴负方向的夹角为θ=30°，则有：
v0=vcos30°=

v

2

质点先后两次在电场中做类平抛运动，且水平位移相等，故运动时间关系为：
t₁=2t₂
由于在电场中加速度相等，设OD间的距离为h′，故沿y轴负方向的偏移量关系为：
h=

1

2

at

2 1

h′=

1

2

at

2 2

由以上可知：h′=

h

4

…①
（2）设圆周运动半径为r，由几何关系得：
h+h′=r（1+sin30°）…②
质点做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：
qv₀B=

mv 2 0

r

…③
由①②③得：v0=

5hqB

6m

（3）设质点圆周运动周期为T，由几何关系得，质点在磁场中的运动时间为：
t=

240°

360°

T=

2

3

×

2πm

qB

=

4πm

3qB

答：（1）D点与原点O的距离为

h

4

（2）粒子从A点射入的初速度为

5hqB

6m

（3）粒子在磁场中的运动时间为

4πm

3qB

点评：解决质点在磁场中的运动问题，关键是找到轨迹，定出圆心，构造三角形得到半径表达式，然后结合半径公式和周期公式解决