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如图所示,两平行的光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上,导轨间距为L,电阻忽略不计且足够长,导轨平面的倾角为α,斜面上相隔为d的平行虚线MN与PQ间有磁感应强度大小为B的匀强磁场,方向与导轨平面垂直.另有一长为2d的绝缘杆将一导体棒和一边长为d(d<L)的正方形单匝线框连在一起组成一固定的装置,总质量为m,导体棒中通以大小恒为I的电流.将整个装置置于导轨上,线框下边与PQ重合.释放后装置沿斜面开始下滑,当导体棒运动到MN处恰好第一次开始返回,经过若干次往返后,最终整个装置在斜面上作恒定周期的往复运动.导体棒在整个运动过程中始终与导轨垂直.求:
(1)在装置第一次下滑的过程中,线框中产生的热量Q;
(2)画出整个装置在第一次下滑过程中的速度-时间(v-t)图象;
(3)装置最终在斜面上做往复运动的最大速率vm
(4)装置最终在斜面上做往复运动的周期T.
分析:(1)线框克服安培力做功等于整个回路产生的热量,根据动能定理求出导体棒从静止开始运动到MN处线框克服安培力做的功,从而求出线框产生的热量.
(2)在线框进入磁场和离开磁场的过程中,做变加速直线运动,线框离开磁场做匀加速直线运动,当导体棒进入磁场做匀减速直线运动到速度为零.
(3)线框最终做往复运动,最高点时上边位于MN处,因为导体棒向下进入磁场做匀减速直线运动,向上进入磁场做匀加速直线运动,知速度最大的位置导体棒位于PQ处.根据动能定理求出最大的速度.
(4)在做周期性运动的过程中,先向下做匀加速直线运动,然后向下做匀减速直线运动,结合牛顿第二定律和运动学公式求出周期的大小.
解答:解:(1)设装置由静止释放到导体棒运动到磁场下边界的过程中,安培力对线框做功的大小为W,mgsinα?4d-W-BIL?d=0
解得W=4mgdsinα-BILd
线框中产生的热量Q=W=4mgdsinα-BILd    
(2)第一段,初速度为零、加速度减小的加速运动;第二段匀加速运动;第三段,匀减速运动至速度为零.
(3)装置往复运动的最高位置:线框的上边位于MN处;速度最大的位置:导体棒位于PQ处.
由mgsinα?d=
1
2
mvm2解得vm=
2gdsinα
 
(4)向下加速过程ma1=mgsinα  t1=
vm-0
a1
=
2gdsinα
gsinα

向下减速过程ma2=BIL-mgsinα  t2=
vm-0
a2
=
m
2gdsinα
BIL-mgsinα

T=2(t1+t2)=2(
2gdsinα
gsinα
+
m
2gdsinα
BIL-mgsinα
).
答:(1)在装置第一次下滑的过程中,线框中产生的热量Q=4mgdsinα-BILd.
(2)如图所示.
(3)装置最终在斜面上做往复运动的最大速率为
2gdsinα

(4)装置最终在斜面上做往复运动的周期T为2(
2gdsinα
gsinα
+
m
2gdsinα
BIL-mgsinα
).
点评:本题考查了电磁感应与力学和能量的综合,综合性较强,对学生的能力要求较高,是高考的热点问题,在平时的学习中要加强训练.
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