Question

如图所示，半径R="0.2" m的光滑四分之一圆轨道PQ竖直固定放置，末端Q与一长L = 0.8m的水平传送带相切，水平衔接部分摩擦不计，传动轮(轮半径很小)作顺时针转动，带动传送带以恒定的速度v₀运动。传送带离地面的高度h ="1.25" m，其右侧地面上有一直径D =" 0.5" m的圆形洞，洞口最左端的A点离传送带右端的水平距离s="1m," B点在洞口的最右端。现使质量为m="0.5" kg的小物块从P点由静止开始释放，经过传送带后做平抛运动，最终落入洞中，传送带与小物块之间的动摩擦因数μ ＝ 0.5。g取10m/s²。求：

(1)小物块到达圆轨道末端Q时对轨道的压力；
(2)若v₀ =3m/s，求物块在传送带上运动的时间T；
(3)若要使小物块能落入洞中，求v₀应满足的条件。

Answer 1

　(1) 15 N，方向竖直向下 (2) 0.3 s(3) 2m/s <v₀<3m/s

　(1)设物块滑到圆轨道末端速度v₁，物块在轨道末端所受支持力的大小为N
根据机械能守恒定律得mgR ＝mv  根据牛顿第二定律得 N－mg ＝ m
联立以上两式代入数据得：N＝ 15 N
根据牛顿第三定律，对轨道压力大小为15 N，方向竖直向下
(2)物块在传送带上加速运动时， 由μmg ＝ ma , 得a ＝ μg＝5m/s²
加速到与传送带达到同速所需要的时间t₁＝ ＝ 0.2 s
位移s₁＝t₁＝ 0.5 m <L    匀速时间t₂＝ ＝ 0.1 s
故T ＝ t₁＋ t₂＝ 0.3 s
(3)物块离开传送带右端后做平抛运动， 则h ＝gt²恰好落到A点　s ＝ v₂t　　
得v₂＝ 2m/s   恰好落到B点　D ＋ s ＝ v₃t　　得v₃＝ 3m/s 
故v₀应满足的条件是2m/s <v₀<3m/s
本题考查机械能守恒定律和牛顿第二定律的应用，从N点到N点只有重力做功，机械能守恒，设最低点为零势能面根据动能定理可求得到传送带左端的速度，在N点为圆周运动的最低点，由支持力和重力的合力提供向心力，由此可求得支持力大小，物块在传送带上由滑动摩擦力提供加速度，物体的速度大于传送带速度，所受滑动摩擦力向左，做匀减速直线运动，当减速到与传送带速度相同时随着传送带一起运动，根据这两个过程的位移关系可分别求得运动时间，离开传送带后物体做平抛运动，由竖直高度决定运动时间和水平方向匀速运动可求得水平速度的取值范围