Question

如图，一个带有1/4圆弧的粗糙滑板A，总质量为m_A=3kg，其圆弧部分与水平部分相切于D点，水平部分DQ长为L=3.75m，开始时，A静止在光滑水平面上，有一质量m_B=2kg的小木块B从滑板A的右端以水平初速度v=5m/s滑上A，小木块B与滑板A的动摩擦因数为μ=0.15，小木块滑到滑板A的左端，并沿圆弧部分向上滑行一段距离后返回，最终停在滑板A的水平部分上
（1）求A、B相对静止时速度的大小；
（2）若B最终停在A的水平部分C点，L_DC=1m，求B在圆弧上运动的过程中，因摩擦产生的热量；
（3）若圆弧部分光滑，且除v不确定外，其他条件不变，试解出B在水平部分既能对地向右滑动，又不滑离滑板A的v的取值范围（g=10m/s²，结果可保留根号）．

Answer 1

【答案】分析：根据动量守恒定律列出等式解决问题．
由于机械能转化成内能，根据能量守恒列出等式解决问题．
解答：解：（1）小木块B从开始运动直到A、B相对静止的过程中，系统水平方向上动量守恒，有
m_Bv=（m_B+m_A）v     
解得 v=2 m/s       
（2）B在A的圆弧部分的运动过程中，它们之间因摩擦产生的内能为Q₁，B在A的水平部分往返的运动过程中，它们之间因摩擦产生的内能为Q₂，由能量关系得到
m_Bv²=（m_B+m_A）v²+Q₁+Q₂  
Q₂=μm_Bg（L_QP+L_PR）
Q₁=m_Bv²-（m_B+m_A）v²-μm_Bg（L_QP+L_PR）=0.75J
（3）设小木块B下滑到P点时速度为v_B，同时A的速度为v_A，由动量守恒和能量关系可以得到     
m_Bv=m_Bv_B+m_Av_A
m_Bv²=m_Bv_B²+m_Av_A²+μm_BgL
得5v_B²-4vv_B-v²+0.9gL=0，令
v_B=＜0，
化简后为v²＞0.9gL
若要求B最终不滑离A，由能量关系必有
μm_Bg?2L≥m_Bv²-（m_B+m_A）v²
  化简得 v²≤gL
故B既能对地向右滑动，又不滑离A的条件为
5.8m/s＜v≤6.1m/s
答：（1）求A、B相对静止时速度的大小为2 m/s；
（2）B在圆弧上运动的过程中，因摩擦产生的热量为0.75J；
（3）B在水平部分既能对地向右滑动，又不滑离滑板A的v的取值范围为5.8m/s＜v≤6.1m/s
点评：解决问题首先要清楚研究对象的运动过程，我们要清楚运动过程中能量的转化，以便从能量守恒角度解决问题．把动量守恒和能量守恒结合起来列出等式求解是常见的问题．