Question

如图所示，BC为半径等于

2

5

2

m竖直放置的光滑细圆管，O为细圆管的圆心，在圆管的末端C连接倾斜角为45°、动摩擦因数μ=0.6的足够长粗糙斜面，一质量为m=0.5kg的小球从O点正上方某处A点以v₀水平抛出，恰好能垂直OB从B点进入细圆管，小球从进入圆管开始受到始终竖直向上的力F=5N的作用，当小球运动到圆管的末端C时作用力F立即消失，小球能平滑地冲上粗糙斜面．（g=10m/s²，

2

≈1.4）求：
（1）小球从O点的正上方某处A点水平抛出的初速度v₀为多少？
（2）小球在从A点抛出到达到CD最高点的总时间？（结果保留两位有效数字）
（3）判断小球能否停在斜面上？若能请计算出所停的位置；若不能则请计算出此后通过C点时小球对圆管的最大压力的大小．

Answer 1

分析：（1）小球从A运动到B做平抛运动，根据平抛运动的基本公式及几何关系即可求得初速度；
（2）小球从进入圆管开始受到始终竖直向上的力F=5N的作用，跟重力恰好平衡，说明小球在圆管中做匀速圆周运动．分三段分别求出时间，即可求出总时间；
（3）判断小球能否停在斜面上，关键看重力沿斜面的分量跟滑动摩擦力的大小，如果重力沿斜面的分量大于滑动摩擦力，则不能静止，由向心力公式即可求出压力．

解答：解：（1）小球从A运动到B为平抛运动，有：
rsin45°=v₀t-------①
在B点有：tan45°=

gt

v0

-------②
解以上两式得：v₀=2m/s              
（2）在B点由运动的合成与分解有：
v_B=

v0

sin45°

=2

2

m/s-------③
平抛运动A到B的时间为t₁，则
Rsin45°=v₀t₁-------④
小球在管中受三个力作用，则小球在管中以v_B=2

2

m/s做匀速圆周运动B到C时间为t₂，故

3

4

πR=vBt2-------⑤
在CD上滑行到最高点时间为t₃ 根据牛顿第二定律得小球在斜面上滑的加速度为a₁则mgsin45°+μmgcos45°=ma₁------⑥
由匀变速运动规律得：v_c=v_B=a₁t₃-------⑦
由③④⑤⑥⑦联立得：t=t₁+t₂+t₃=0.92s
（3）因为μ＜tanθ，故小球不能停止在斜面上    
根据牛顿第二定律得小球在斜面下滑的加速度为a₂则mgsin45°-μmgcos45°=ma₂------⑧
当小球第一次回到c点时对轨道的压力最大，设此时的速度为

v

′ C

由运动学规律有

v 2 C

2a1

=

v′C2

2a2

-------⑨
在C点由牛顿第二定律得N-mg=m

v′C2

R

-------⑩
由⑧⑨⑩联立得：N=6.75N          
答：（1）小球从O点的正上方某处A点水平抛出的初速度为2m/s；
（2）小球在从A点抛出到达到CD最高点的总时间为0.92s；
（3）小球不能停止在斜面上，小球通过C点时对圆管的最大压力为6.75N．

点评：本题主要考查了牛顿第二定律及平抛运动基本公式的应用，要求同学们能正确对物体进行受力分析，根据受力情况判断运动情况，并熟练运用运动学基本公式解题．