Question

2007年10月24日，我国成功的发射了“嫦娥一号”绕月卫星，在世界上掀起了新一轮的探月高潮．“嫦娥一号”现已运行在平均高度h=200公里、周期T=127分钟、运行线速度v=1600m/s、倾角а=90度的月球极轨圆轨道上．11月26日，中国国家航天局正式公布“嫦娥一号”卫星传回的第一幅月面图象．若万有引力常量为G，根据以上数据，计算：（用字母表示）
（1）月球的半径
（2）月球的质量
（3）月球表面的重力加速度
（4）如果“嫦娥一号”绕月卫星的圆轨道半径减小，试分析它的运行线速度的大小和周期变化．

Answer 1

分析：（1）根据线速度与周期的关系，得出嫦娥一号的轨道半径，从而得出月球的半径大小．
（2）根据万有引力提供向心力得出月球的质量．
（3）根据万有引力等于重力求出月球表面重力的加速度．
（4）根据万有引力提供向心力得出线速度、周期与轨道半径的关系，从而根据轨道半径的变化判断线速度和周期的变化．

解答：解（1）根据周期与线速度的关系T=

2πr

v

，
轨道半径r=h+R   
则月球的半径  R=

vT

2π

-h
（2）根据万有引力提供向心力得，G

Mm

r2

=m

v2

r

解得  M=

rv2

G

=

Tv3

2πG

．
（3）根据万有引力等于重力得，G

Mm

R2

=mg  
g=

GM

R2

=

Tv3

2π( vT 2π -h)2

．
（4）根据万有引力提供向心力G

Mm

r2

=m

v2

r

=mr

4π2

T2

解得v=

GM r

，T=

4π2r3 GM

，r减小得线速度变大，周期变小．
答：（1）月球的半径为

vT

2π

-h．
（2）月球的质量为

Tv3

2πG

．
（3）月球表面的重力加速度为

Tv3

2π( vT 2π -h)2

．
（4）如果“嫦娥一号”绕月卫星的圆轨道半径减小，线速度变大，周期变小．

点评：解决本题的关键掌握万有引力提供 向心力和万有引力等于重力这两个理论，并能灵活运用．