Question

（2011?江苏模拟）有两个用特殊材料做成的两个物体A和B，质量都为m；它们之间存在一种相互作用，这个作用力F与它们间的距离x的关系为F=ρ（x₀-x），其中k、x₀为已知常数，当两者间距离x＜x₀时，这个作用表现为斥力，当x＞x₀时，这个作用表现为引力，当x=x₀时，作用力为零．现将物体B固定在水平地面上，再将A移到B的正上方，最终A能静止于B的正上方的某处，试求：（已知重力加速度大小为g） 
（1）当A静止于B的正上方时，两者间的距离x₁多大；
（2）当A静止于B的正上方时，给A施加一个竖直向上的拉力，使A向上做匀加直线运动，加速度大小为a，则经过多长时间，B开始离开地面；
（3）若把A从B的正上方相距x₀处由静止释放，则A向下运动的过程中所能达到的最大速度v_m为多少．

Answer 1

分析：（1）当A静止于B的正上方时，其重力与斥力平衡，由平衡条件求解两者间的距离x₁．
（2）当B离开地面时，B受到A的引力等于B的重力，由F=ρ（x₀-x）求出AB间的距离，由位移公式求出运动时间．
（3）A释放后开始向下做变加速直线运动，根据牛顿第二定律得出A、B间距离与速度变化率的关系式，运用积分的方法求出最大速度v_m．

解答：解：
（1）当A静止于B的正上方时，它一定是在重力和B的斥力作用下平衡，则有：
   mg=ρ（x₀-x₁）
解得：x1=x0-

mg

ρ

（2）当B离开地面时，B受到A的引力等于B的重力，
即 mg=ρ（x₂-x₀）
故此时AB间的距离 x2=

mg

ρ

+x0
在A匀加速上升过程中：x2-x1=

1

2

at2
解得 t=2

mg ρa

（3）A释放后开始向下做变加速直线运动，当AB相距为x₁时速度达到最大，此过程中：mg-ρ(x0-x)=m

△v

△t

=m

△v

△x

?

△x

△t

=mv

△v

△x

变形为：（mg-ρx₀）△x+ρx△x=mv△v
对上式进行积分得：(mg-ρx0)(x1-x0)+

1

2

(

x

2 1

-

x

2 0

)=

1

2

m

v

2 m

化简得：A所能达到的最大速度 vm=g

m ρ

答：
（1）当A静止于B的正上方时，两者间的距离x1=x0-

mg

ρ

；
（2）当A静止于B的正上方时，给A施加一个竖直向上的拉力，使A向上做匀加直线运动，加速度大小为a，经过时间 t=2

mg ρa

，B开始离开地面；
（3）若把A从B的正上方相距x₀处由静止释放，A向下运动的过程中所能达到的最大速度为 vm=g

m ρ

．

点评：本题首先要认真审题，读懂题意．对于变加速运动，不能匀变速运动的公式求速度，常常采用微分、积分的方法求速度．