Question

如图，竖直平面内有一半径足够大光滑圆弧形轨道，O为最低点，A、B两点距O点的高度分别为h和4h，现在从A点释放一质量为M的大物体，且每隔适当的时间从B点释放一质量为m的小物体，它们和大物体碰撞后都结为一体，已知M=100m。
（1）若每当大物体向右运动到O点时，都有一个小物体与之碰撞，问碰撞多少次后大物体速度最小？
  （2）若每当大物体运动到O点时，都有一个小物体与之碰撞，若碰撞50次后大物体运动的最大高度为h的几分之几？

Answer 1

(1) n=50次(2)

（1）设分别由A、B释放的物理沿圆弧轨道运动到O点时速度大小分别为V_A、V_B。
由机械能守恒定律得：

20081208

设n次碰撞后大物体速度最小，出动量守恒定律得：
Mv_A-nmv_B=（M+nm）v_min
当Mv_A-nmv_B=0时，大物体速度最小
解得n=50次
（2）第1次碰撞：Mv_A-nmv_B=（M+m）v₁
第2次碰撞：（M+m）v₁+ mv_B=（M+2m）v₂
第3次碰撞：（M+2m）v₂+ mv_B=（M+3m）v₃
第4次碰撞：（M+3m）v₃+ mv_B=（M+4m）v₄
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第50次碰撞：（M+49m）v₄₉+ mv_B=（M+50m）v₅₀
两边相加得：Mv_A=（M+50m）v₅₀
解得：v₅₀=
由机械能守恒定律得：
（M+50m）gh′= 
解得：