Question

20世纪50年代，物理学家发现了“电子偶素”．所谓“电子偶素”，实际上是指由一个负电子和一个正电子绕它们连线的中点旋转所形成的相对稳定的系统．已知正、负电子的质量均为m_e，带电荷量均为e，静电力常量为k，普朗克常量为h．
（1）设“电子偶素”中正、负电子绕它们连线的中点做匀速圆周运动的轨道半径为r、运动速度为v，根据量子化理论上述物理量满足关系式：2mevnrn=

nh

2π

（n=1，2，3，…）．试证明n=1时，正、负电子做匀速圆周运动的速率v1=

πke2

h

（2）已知“电子偶素”的能量为正、负电子运动的动能和系统的电势能之和．当正、负电子相距d时系统的电势能为Ep=-k

e2

d

．试求n=1时，“电子偶素”的能量E₁．

Answer 1

分析：（1）由正负电子的库仑力提供向心力，从而即可证明．
（2）由题意可知，系统的电势能，及电子的动能，可求得n=1时，“电子偶素”的能量．

解答：解：（1）设n=1时电子运转轨道半径为r₁，
此时正负电子间库仑力F=k

e2

4 r 2 1

此库仑作为向心力F=me

v 2 1

r1

由题中量子化理论可知，n=1时 2mev1r1=

h

2π

联立上式可得v1=

πke2

h

（2）由题意可知，系统的电势能EP=-k

e2

2r1

  
每个电子动能EK=

1

2

me

v

2 1

系统的能量E=2E_K+E_P
联立可得E1=-

π2mek2e4

h2

答：（1）n=1时，正、负电子做匀速圆周运动的速率v1=

πke2

h

；
（2）n=1时，“电子偶素”的能量为E1=-

π2mek2e4

h2

．

点评：考查电子受到的电场力作用为向心力做匀速圆周运动，掌握牛顿第二定律的应用，知道系统的能量是动能与电势能之和．