Question

如图所示，ABDO悬处于竖直平面内的光滑轨道，AB是半径R=15m的四分之一圆周轨道，半径OA处于水平位置，BDO是直径为15 m的半圆轨道，D为BDO轨道的中央，一个小球P从A点的正上方距水平半径OA高H处自由落下，沿竖直平面内的轨道通过D点时对轨道的压力等于其重力的倍。(g=10 m/s²)
(1)求H的大小；
(2)试讨论此球能否到达BDO轨道的O点，并说明理由；
(3)小球沿轨道运动后再次落到轨道上的速度的大小是多少？

Answer 1

解：(1)设小球通过D点的速度为v，通过D点时轨道对小球的支持力为F。则有
 
小球从P点落下直到沿光滑轨道运动到D的过程中，由机械能守恒，有

由上二式可得
(2)设小球能够沿竖直半圆轨道运动到O点的最小速度为v_c，则有

设小球至少应从H_c高处落下，且满足
由上二式可得，故可知小球可以通过O点
(3)小球由H落下通过O点的速度为：
小球通过O点后做平抛运动，设小球经时间t落到AB圆弧轨道上，建立如图所示的坐标系，有：
 
x=v₀t，
且x²+y²=R²
由上三式可解得：t=1 s
落到轨道上速度的大小为