Question

如图甲所示，在xoy坐标平面内，第一象限有垂直纸面向里、磁感应强度恒为B₀的匀强磁场（MN为磁场区域的右边界，且与x轴垂直）；第二象限的平行板电容器与y轴平行放置，与电容器两极板相连、面积为S的圆形单匝金属线圈内有方向垂直纸面向外，大小按图乙所示均匀变化的磁场，磁场在t₀时间内从零开始增大到B₀；第四象限存在场强为E₀、方向沿y轴负方向的匀强电场．一电量为-q，质量为m的粒子（不计重力）从电容器左极板附近由静止开始被加速，从右极板小孔P射出后垂直y轴进入磁场，之后又恰能垂直x轴进入电场．求：
（1）电容器两板间的电势差多大？
（2）粒子第一次到达x轴时离O点的距离．
（3）若粒子恰能垂直MN穿出磁场，粒子从y轴进入磁场到由MN穿出磁场经历的时间是多长？

Answer 1

分析：（1）根据法拉第电磁感应定律，可求出电容器两板间的电势差；
（2）粒子在电场中加速，根据动能定理列出加速电压与速度的关系；再由洛伦兹力提供向心力，列出等式，从而求出运动轨迹的半径，即为粒子第一次到达x轴时离O点的距离；
（3）粒子在磁场中运动n个半圆，由周期公式可求出粒子在磁场中运动时间；粒子在电场中往返运动2n次，由运动学公式可求出粒子在电场中运动时间，两者之和即粒子在电场和磁场中运动时间．

解答：解：（1）由法拉第电磁感应定律得：
 E=

△?

△t

        
则产生电动势即为两板间电压 U=E=

△B

△t

S=

B0

t0

S
（2）粒子在平行板间被加速：qU=

1

2

mv2    
在磁场中，洛仑兹力提供向心力 B0qv=m

v2

r

    
得r=

2Sm B0tq

（3）若粒子恰能垂直MN穿出磁场，粒子在磁场中运动n个半圆，在电场中往返2n次，
设粒子在磁场中运动时间t₁，则：

t1=n T 2 T= 2πm qB0

       n≥1．
解得   t1=

nπm

qB0

设粒子在电场中运动总时间t₂，则：
由牛顿第二定律：a=

E0q

m

      
 粒子在电场中运动时间：t2=2n

v

a

      
则有：t2=

2n

E0

2SmB0 qt0

粒子从入磁场到出磁场的总时间t_总：
  t_总=t₁+t₂=

nπm

qB0

+

2n

E0

2SmB0 qt0

     （ n≥1  ）
答：（1）电容器两板间的电势差

B0

t0

S；
（2）粒子第一次到达x轴时离O点的距离

2Sm B0tq

；
（3）若粒子恰能垂直MN穿出磁场，粒子从y轴进入磁场到由MN穿出磁场经历的时间是 

nπm

qB0

+

2n

E0

2SmB0 qt0

     （ n≥1  ）

点评：考查法拉第电磁感应定律、动能定理、牛顿第二定律、向心力公式、运动学公式等基本规律，注意粒子恰能垂直进入磁场，又垂直进入电场，最后又垂直穿出磁场，从而确定粒子在磁场中的运动轨迹是半圆的整数倍；同时粒子在电场中要往返运动．