Question

一电路如图所示，已知电源内阻r=2Ω，定值电阻R₁=0.5Ω，求：①当滑动变阻器的阻值R₂为

0

Ω时，电阻R₁消耗的功率最大；②当变阻器的阻值为

2.5

Ω时，变阻器消耗的功率最大；③当变阻器的阻值为

R₂=1.5

Ω时，电源输出的功率最大．

Answer 1

分析：①根据电功率公式P=I²R，当电流最大时功率最大；
②根据欧姆定律和功率表达式求解出电阻R₂电功率表达式，利用数学知识分析极大值；
③根据欧姆定律和功率表达式求解出外电阻R_总电功率表达式，利用数学知识分析极大值．

解答：解：①根据闭合电路欧姆定律，有
I=

E

r+R1+R2

=

E

2.5+R2

故变阻器R₂的阻值为零时，电流最大，故根据P=I²R可知，此时电阻R₁消耗的功率最大；
故答案为：0．
②变阻器R₂消耗的功率为：
PR2=I2R2
将第①问中的电流代入，有
PR2=(

E

2.5+R2

)2R2=

E2R2

R 2 2 +5R2+6.25

=

E2

R2+ 6.25 R2 +5

其中
R2+

6.25

R2

≥2

R2

?

6.25 R2

=5（当

R2

=

6.25 R2

，即R₂=2.5Ω时取等号）
故当R₂=2.5Ω时，变阻器消耗的功率最大；
故答案为：2.5．
③电源输出功率为：P出=I2(R1+R2)
将第①问中的电流代入，有
P出=(

E

2.5+R2

)2(0.5+R2) =

E2(0.5+R2)

(0.5+R   2 )2+4(0.5+R2)+4

=

E2

(0.5+R2)+ 4 0.5+R2 +4

其中
(0.5+R2)+

4

0.5+R2

≥2

0.5+R2

?

4 0.5+R2

=4（当

0.5+R2

=

4 0.5+R2

，即R₂=1.5Ω时取等号）
当变阻器的阻值为 1.5Ω时，电源输出的功率最大；
故答案为：1.5．

点评：本题关键是求解出各个功率的表达式，然后多次运用数学公式a²+b²≥2ab（当a=b时取等号）求解极值．