Question

（2005?福建模拟）如图所示，O为地心，实线圆圈表示地球的赤道，虚线圆圈表示计划中的“亚洲六号”同步卫星轨道，A点表示该卫星的定点位置．若已知地球的半径为R，地球的自转周期为r，地球表面处的重力加速度为g求：
（1）A点离地面的高度．
（2）“亚洲六号”卫星能覆盖到的赤道上圆弧所对应的圆心角θ（ θ可用反三角函数表示）

Answer 1

分析：（1）由万有引力提供向心力的周期表达式和地面万有引力等于重力，可解得卫星离地高度．
（2）由于已知离地高度，和地球半径，故可得卫星能覆盖到的赤道上圆弧所对应的圆心角θ．

解答：解：
（1）由万有引力提供向心力可得：

GMm

(R+h)2

=mR

4π2

T2

      ①
由地球表面万有引力等于重力：

GMm

R2

=mg
解得：
GM=gR²
带入①式解得：
h=

3	gR2T2 4π2

-R
（2））“亚洲六号”卫星能覆盖到的赤道上圆弧如图：

由几何关系可得：
cos

θ

2

=

R

R+h

解得：
θ=2arccos

3	4π2R gT2

答：
（1）A点离地面的高度h=

3	gR2T2 4π2

-R．
（2）“亚洲六号”卫星能覆盖到的赤道上圆弧所对应的圆心角θ=2arccos

3	4π2R gT2

．

点评：本题是万有引力提供向心力的基本应用，但是第二问的要求明显有点高了，据我了解，高中课本没有收录反三角函数这个知识点．