Question

（2013?开封模拟）如图，在同一水平高度上有A、B两物体，质量分别为m、M．A从图示位置开始以角速度ω绕O点在竖直平面内沿顺时针方向作匀速圆周运动，轨道半径为R．同时B物体在恒力F作用下，由静止开始在光滑水平面上沿x轴正方向做直线运动，求：
（1）A物体运动到什么位置时，它的速度方向可能与B物体相同？
（2）要使两物体的速度相同，作用在B物体上的力F应多大？
（3）当两物体速度相同时，B物体的最小位移为多少？

Answer 1

分析：（1）速度相同包括大小相等方向相同，所以本题要求A和B的速度大小相等，方向相同；
（2）做匀速圆周运动的物体具有周期性，做题时要考虑A物体运动的周期性；
（3）根据题意可知B在水平恒力作用下做匀加速直线运动，速度和位移可根据匀变速直线运动的基本公式解题；
（3）本题有一个隐含条件就是A、B两物体的运动时间相同，这是解题的关键．

解答：解：（1）因为B物体在水平方向上做匀加速直线运动，所以B的速度方向一直沿X轴正方向，故只有当A物体运动到圆心O的正上方时，即最高点时，速度可能与B物体相同．
    （2）要使A、B速度相同，A必需在圆心O的正上方，但圆周运动具有周期性，所以
         A物体运动到圆心正上方时的时间为：
        t=nT+

T

4

（n=0，1，2，3…表示小球运动圈数），T=

2π

ω

     
        A的速度为v_a=ωR
        B运动的时间与A的时间相同，则tb=

(4n+1)π

2ω

  （n=0，1，2，3…） ①
                          
                                v_b=v_a=ωR                               ②
       B做初速度为零的匀加速直线运动，则    v_b=at_b                   ③
       根据牛顿第二定律可知：
                                 a =

F

M

                                ④
        联立①②③④解得：
                        F=

2Mω2R

4nπ+π

         （n=0，1，2，3…） 
       （3）当时间最短即n=0时，B物体有最小位移
                   xmin=

1

2

abtb2=

1

2

×

2Mω2R

πM

? (

π

2ω

)2=

πR

4

答：（1）在圆心O的正上方时，即最高点时，速度可能与B物体相同；
    （2）要使两物体的速度相同，作用在B物体上的力F=

2mω2R

4nπ+π

（ n=0 1 2 3）；
    （3）最小位移为

πR

4

．

点评：速度是矢量，速度相同时要注意方向也要相同，匀速圆周运动具有周期性，很多同学在解题时容易遗忘．本题是圆周运动与匀加速直线运动相结合的题型，关键抓住运动的时间相同解题，难度较大．