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向空间发展最具有可能的是在太阳系内地球附近建立“太空城”,如图13甲所示是设想中的一个太空城,长1 600 m,直径200 m,上下分8层,窗口和人造陆地交错分布,“陆地”上土壤厚1.5 m,窗外有巨大铝制反射镜可调节阳光射入.太空城空气、水、食品和土壤最初可以从地球、月球运送,以后则在太空里形成与地球同样的生态环境.

图13

(1)为使太空城的居民能如同在地球上一样具有“重力”,以适应人类在地球上的行为习惯,太空城在电力驱动下绕自己的中心轴OO′以一定角速度转动,试求其转动的角速度.

(2)实际上,月球不是绕着地心公转,而是地球、月球在相互的引力作用下绕它们连线上的一固定点C做匀速转动,如图乙.试求该点C与地球球心的距离.(设地球质量为M1,月球质量为M2,地月中心距离为r)

(3)太空城的首选位置在与月球、地球相距为r的D处,如图13乙所示,这里,太空城在月球、地球引力的共同作用下,相对地球、月球静止.试证明太空城受地球、月球对其合力方向指向C点.

解析:(1)由g=ω12·

ω1=

= rad/s

= rad/s

=0.316 rad/s.

(2)如题图乙,设AC=r1,CB=r2.地球、月球间的引力提供各自绕固定点C转动的向心力.

=M2ω2r2

=M1ω2r1

r1+r2=r③

由①②③得:ω=,

r2=r,r1=r.

(3)在右图中作AE∥BD交DC延长线于E点,再作EH∥AD交BD于H点.

因△AEC∽△BDC,得:==

=

可得:=

又AD=DB,DH=AE,

得: =

又据F1=,F2=,

得:=

由④⑤得:=

所以F1、F2的合力方向与平行四边形ADHE的对角线DE方向重合,即证F1、F2的合力指向C点.

答案:(1)0.316 rad/s

(2)r

(3)略

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