Question

11．飞船沿半径为R的圆形轨道3绕地球做匀速圆周运动，周期为T，若飞船要返回地面，可在轨道上某点P处将速率降到适当的数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运行，椭圆与地球表面在B点相切．已知地球的质量为M，半径为R₀，引力为G．求：
（1）飞船在圆形轨道上运动时间经过P点处的加速度大小．
（2）飞船由P点运动到B点所需要的时间．

Answer 1

分析 （1）飞船在P点时由万有引力产生加速度，根据万有引力公式求解；
（2）从P到B经过半个周期，根据开普勒行星运动定律求解在椭圆轨道上的周期从而求得时间．

解答 解：（1）根据万有引力产生加速度，根据牛顿第二定律有：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=ma$
可得飞船在P点的加速度为：a=$\frac{GM}{{R}^{2}}$；
（2）根据题意得椭圆轨道的半长轴为：r=$\frac{R+{R}_{0}}{2}$．
根据开普勒第三定律得：$\frac{{R}^{3}}{{T}^{2}}=\frac{{r}^{3}}{T{′}^{2}}$，
因为r=$\frac{R+{R}_{0}}{2}$，
解得：T′=$\sqrt{（\frac{R+{R}_{0}}{2R}）^{3}}T$
则飞船由A点到B点的运动时间为：t=$\frac{T}{2}$=$\frac{1}{2}\sqrt{（\frac{R+{R}_{0}}{2R}）^{3}}T$
答：（1）飞船在圆形轨道上运动时间经过P点处的加速度大小为$\frac{GM}{{R}^{2}}$；
（2）飞船由P点运动到B点所需要的时间为$\frac{1}{2}\sqrt{（\frac{R+{R}_{0}}{2R}）^{3}}T$．

点评 由题目的描述，飞船由P点到B点所需的时间应是椭圆轨道的半个周期．关键掌握开普勒第三定律，并能灵活运用