Question

如图（甲）所示，两根足够长的光滑平行金属导轨相距为L₁=0.4m，导轨平面与水平面成θ=30⁰角，下端通过导线连接阻值R=0.6Ω的电阻．质量为m=0.2kg、阻值r=0.2Ω的金属棒ab放在两导轨上，棒与导轨垂直并保持良好接触，整个装置处于垂直导轨平同 向上的磁场中，取g=lOm/s²．

（1）若金属棒距导轨下端L₂=0.5m，磁场随时间变化的规律如图（乙）所示，为保持金属棒静止，试求加在金属棒中央、沿斜面方向的外力随时问变化的关系
（2）若所加磁场的磁感应强度大小恒为B’，通过额定功率Pm=l OW的小电动机对金属棒施加沿斜面向上的牵引力，使其从静止开始沿导轨做匀加速直线运动，经过 0.5s电动机达到额定功率，此后电动机功率保持不变．金属棒运动的v-t图象如图（丙）所示．试求磁感应强度B’的大小和0.5s内电动机牵引力的冲量大小．

Answer 1

分析：（1）为保持金属棒静止，合力必须为零，沿导轨方向外力F、重力的分力和安培力必须平衡．由乙图知，B均匀增大，回路中产生恒定的感应电流，根据法拉第定律、欧姆定律和安培力公式，结合平衡条件求外力F的表达式．
（2）由图丙知，金属棒运动的最大速度为v_m=5m/s，此时棒做匀速运动，合力为零，根据法拉第定律、欧姆定律和安培力公式，以及功率公式P=Fv求B′．
在0-0.5s内，棒做匀加速运动，由牛顿第二定律列式求出0.5s时的速度，由动量定理求出0.5s内的冲量．

解答：解：（1）金属棒沿斜面方向受力平衡，由图乙知，B均匀减小，根据楞次定律可知，棒所受的安培力沿斜面向下，要保持棒静止，外力应沿斜面向上，设其大小为F，则
   F-mgsinθ-BIL₁=0…①
由图乙可知，t时刻磁感应强度B的大小可表示为 B=2.5t T…②
t时刻，回路中的感应电动势 E=

△Φ

△t

=

△B

△t

S=

△B

△t

L₁L₂…③
此时回路中的感应电流为 I=

E

R+r

…④
由图乙知：

△B

△t

=2.5T/s…⑤
联立①～⑤式得 F=（1+0.625t）N
（2）由图丙可知，金属棒运动的最大速度为v_m=5m/s，此时棒做匀速运动，合力为零．
设金属棒此时所受的拉力大小为F₁，流过棒中的电流为I_m，则
  F₁-mgsinθ-B′I_mL₁=0…⑥
又E_m=B′L₁v_m，I_m=

Em

R+r

，P_m=F₁v_m…⑦
由⑥⑦得：B′=1T
在0.5s时，设金属棒所受的拉力大小为F₂，加速度为a，运动的速度大小为v₂，流过金属棒的电流为I₂，根据牛顿第二定律得
  F₂-mgsinθ-B′I₂L₁=ma…⑧
又E₂=B′L₁v₂，I2=

E2

R+r

，P_m=F₂v₂，v₂=at…⑨
0.5s内，由动量定理得：
 I_F-mgsinθ-I_B=mv₂…⑩
而安培力冲量I_B=

1

2

B′I2L1t…（11）
由⑧⑨⑩（11）联立解得，I_F=

4

3

N?s
答：
（1）加在金属棒中央、沿斜面方向的外力随时问变化的关系为 F=（1+0.625t）N．
（2）磁感应强度B′的大小为1T，0.5s内电动机牵引力的冲量大小是

4

3

N?s．

点评：本题是电磁感应与力学知识的综合应用，还整合了电路、力学和电磁感应中：欧姆定律、焦耳定律、动能定理等等多个知识点，还要理解图象的物理意义，综合性较强．