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(2012?虹口区二模)如图(甲)所示,MN、PQ为水平放置的足够长的平行光滑导轨,导轨间距L为0.5m,导轨左端连接一个阻值为2Ω的定值电阻R,将一根质量为0.2kg的金属棒cd垂直放置在导轨上,且与导轨接触良好,金属棒cd的电阻r=2Ω,导轨电阻不计,整个装置处于垂直导轨平面向下的匀强磁场中,磁感应强度为B=2T.若棒以1m/s的初速度向右运动,同时对棒施加水平向右的拉力F作用,并保持拉力的功率恒为4W,从此时开始计时,经过一定时间t金属棒的速度稳定不变,电阻R中产生的电热为3.2J,图(乙)为安培力与时间的关系图象.试求:
(1)金属棒的最大速度;
(2)金属棒速度为2m/s时的加速度;
(3)此过程对应的时间t;
(4)估算0~3s内通过电阻R的电量.
分析:(1)当金属棒所受的拉力和安培力相等时,受到最大,根据P=Fvm,F=BIL联立求出金属棒的最大速度.
(2)求出金属棒速度为2m/s时的感应电动势,从而求出感应电流的大小,根据F=BIL求出安培力的大小,再通过牛顿第二定律求出加速度的大小.
(3)克服安培力做的功全部转化为整个回路的热量,通过电阻R中产生的电热求出整个回路产生的电热,根据动能定理,通过拉力做功W=Pt求出此过程对应的时间.
(4)因为△q=I△t=
FA
BL
△t
,根据图线所围成的面积求出FA△t,从而得出0~3s内通过电阻R的电量.
解答:解:(1)金属棒的速度最大时,所受的合外力为零,即F=BIL.
而P=Fvm,I=
BLvm
R+r

解出:vm=
P(R+r)
BL
=
4×(2+2)
2×0.5
m/s=4m/s

(2)速度为2m/s时,感应电动势E=BLv=2×0.5×2V=2V,
电流I=
E
R+r
=
2
2+2
A=0.5A

安培力F=BIL=2×0.5×0.5N=0.5N.
金属棒受到的拉力F=
P
v
=
4
2
N=2N

根据牛顿第二定律:F-F=ma
解得a=
F-F
m
=
2-0.5
0.2
m/s2=7.5m/s2

(3)在此过程中,由动能定理得:
Pt+W=
1
2
mvm2-
1
2
mv02

而W=-(QR+Qr)=-2QR=-6.4J.
解出t=
mvm2-mv02-2W
2P
=
0.2×42-0.2×12+2×6.4
2×4
s=1.975s.
(4)图线与横轴之间共有124+15×
1
2
=131.5个小方格.
相应的面积为131.5×0.2×0.1N.s=2.63N.s,即
 
 
F△t=2.63N.s
q=
 
 
I.△t=
 
 
F△t
BL
=
2.63
2×0.5
C=2.63C

答:(1)金属棒的最大速度为4m/s.
(2)金属棒速度为2m/s时的加速度为7.5m/s2
(3)此过程对应的时间t为1.975s.
(4)0~3s内通过电阻R的电量2.63C.
点评:本题综合考查了牛顿第二定律、动能定理、功能关系等知识,综合性较强,对学生能力的要求较高,是一道好题.
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