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如图所示,一轻弹簧竖直放置在地面上,轻弹簧下端与地面固定,上端连接一质量为M的水平钢板,处于静止状态.现有一质量为 m 的小球从距钢板 h=5m的高处自由下落并与钢板发生碰撞,碰撞时间极短且无机械能损失.己知 M=3m,不计空气阻力,g=10m/s2
( l )求小球与钢板第一次碰撞后瞬间,小球的速度 v1和钢板的速度 v2
( 2 )如果钢板作简谐运动的周期为 2.0s,以小球自由下落的瞬间为计时起点,以向下方向为正方向,在下图中画出小球的速度 v 随时间 t 变化的v-t 图线.要求至少画出小球与钢板发生四次碰撞之前的图线.(不要求写出计算过程,只按画出的图线给分)
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分析:(1)小球与钢板的碰撞时间且无机械能损失,是弹性碰撞,两者的动量和机械能均守恒,根据两大守恒定律列式,可求得第一次碰撞后瞬间小球的速度v1和钢板的速度v2
(2)根据第一次碰后,根据速度知道小球做竖直上抛运动,求出上抛运动的总时间,分析此时间与简谐运动周期的关系,结合弹性碰撞的规律,分析此后小球的运动情况,作出v-t图象.
解答:解:(1)设小球与钢板第一次碰撞前瞬时的速度大小v0,小球与钢板第一次碰撞后,小球与钢板的速度分别为v1和v2.取竖直向下方向为正方向.
由机械能守恒得:mgh=
1
2
mv
 
2
0
,解得,v0=
2gh
=10m/s
对于碰撞过程,由动量守恒和机械能守恒得:
   mv0=mv1+Mv2
  
1
2
m
v
2
0
=
1
2
m
v
2
1
+
1
2
M
v
2
2
 ②
又M=3m  ③
联立①②③得:v1=-5m/s,v2=5m/s,即小球与钢板第一次碰撞后,小球的速度v1为 5m/s,方向向上;钢板的速度v2为 5m/s 方向向下.
( 2 )由上知,第一碰撞后小球作竖直上抛运动,总时间为t1=
2v1
g
=1s,而钢板作简谐运动的周期为T=2.0s,所以两者会在第一碰撞位置发生第二碰撞.
设第二次碰撞后,小球与钢板的速度分别为v1′和v2′.
由动量守恒和机械能守恒得:
   mv1-Mv2=mv1′+Mv2
  
1
2
m
v
2
1
+
1
2
M
v
2
2
=
1
2
m
v
′2
1
+
1
2
M
v
′2
2

又M=3m
联立以上三式解得,v1′=-10m/s,v2′=0.
此后小球竖直上抛运动,时间为t2=
2v′
g
=2s=T,恰好经过2s后发生第三次碰撞,第三次碰撞与第一次碰撞相同.画出小球的v-t图线如下图所示(小球与钢板第二次碰撞后,小球的速度为 10m/s,方向向上;钢板的速度为零)
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答:
(1)小球与钢板第一次碰撞后,小球的速度v1为 5m/s,方向向上;钢板的速度v2为 5m/s 方向向下.
(2)小球的v-t图线如图所示.
点评:本题是含有弹性碰撞的复杂物理过程,分析每个过程遵守的物理规律是关键,抓住弹性碰撞的基本规律动量守恒和机械能守恒求碰后速度,结合竖直上抛运动的规律进行分析和研究,综合性很强.
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 m/s;碰撞前后小球的动量变化量大小为
 
kg?m.
(B)某星球的质量是地球的2倍,其半径是地球的
12
.若不计其他星球的影响,该星球的第一宇宙速度是地球上第一宇宙速度的
 
倍,某物体在该星球表面上所受重力是在地球表面上所受重力的
 
倍.

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