Question

如图，在倾角为θ=30°的足够长的光滑绝缘斜面上，带正电的物块A和不带电绝缘物块B相距2L．m_A=3m_B，物块A位于斜面底端，斜面处于范围足够大、方向平行斜面向上的匀强电场中．将A、B同时由静止释放，两物块恰好在AB中点处发生第一次碰撞，A、B碰撞过程相互作用时间极短，已知A、B碰撞过程无机械能损失，且A的电荷没有转移，A、B均可视为质点，重力加速度为g．求：
（1）第一次相碰前瞬间A、B的速度大小；
（2）第一次碰撞后，第二次碰撞前，A、B之间的最大距离；
（3）若斜面长度有限，要使A、B仅能在斜面上发生两次碰撞，试求斜面长度的范围．

Answer 1

分析：1、对B由动能定理列出等式求解相碰前瞬间B的速度，A与B都从静止开始运动，经历相同的时间和相同的位移大小，所以A、B的速度大小相等．
2、由于A、B碰撞过程相互作用时间极短，合外力的冲量近似为零，系统的动量认为守恒，根据动量守恒定律列出等式．
已知A、B碰撞过程无机械能损失，根据机械能守恒列出等式求解．
3、分析A、B的运动情况，根据动量守恒定律和机械能守恒列出等式，运用牛顿第二定律和运动学公式结合进行求解．

解答：解：（ 1 ）对B由动能定理研究从静止开始到相碰前瞬间有：
m_B gLsinθ=

1

2

m_B v₀²
v₀=

gL

A与B都从静止开始运动，经历相同的时间和相同的位移大小，所以A、B的速度大小相等．
所以A、B的速度大小均为：

gL

．   
（2）选平行斜面向上为正方向，
由于A、B碰撞过程相互作用时间极短，合外力的冲量近似为零，系统的动量守恒，根据动量守恒定律列出等式，根据对第一次碰撞有：
m_A v₀-m_B v₀=m_A v₁+m_B v₂
已知A、B碰撞过程无机械能损失，根据机械能守恒得：

1

2

m_Av₀²+

1

2

m_Bv₀²=

1

2

m_Av₁²+

1

2

m_Bv₂²
解得：v₁=0，v₂=2

gL

所以撞后A匀加速，B匀减速，两球加速度大小相等．
由m_Bgsinθ=m_Ba有：a=

1

2

g
设A、B第二次碰撞前距离为△x₁，有：
△x₁=x_B-x_A=v₂t-

1

2

at²-

1

2

at²
当t=

v2

2a

=2

L g

 时，△x₁有最大值2L
（3）当△x₁=0时，A、B第二次碰撞，此时t=t₁=4

L g

 
v_A=at=2

gL

，v_B=v₂-at=0
对第二次碰撞，根据动量守恒定律和机械能守恒有：
m_Av_A+m_Bv_B=m_A v₃+m_B v₄

1

2

m_Av_A²+

1

2

m_Bv_B²=

1

2

m_Av₃²+

1

2

m_Bv₄²
解得：v₃=

gL

，v₄=3

gL

设A、B第三次碰撞前距离为△x₂，有：
△x₂=x_B-x_A=v₄t-

1

2

at²-（v₃t+

1

2

at²）
当△x₂=0时，A、B即将第三次碰撞，此时t=t₂=4

L g

 
所以斜面的最小长度：x_min=L+v₂ t₁-

1

2

a t₁²
x_min=5L          
所以斜面的最大长度：x_max=L+v₂ t₁-

1

2

a t₁²+v₄ t₂-

1

2

a t₂²
x_max=13L      
答：（1）第一次相碰前瞬间A、B的速度大小均为

gL

；
（2）第一次碰撞后，第二次碰撞前，A、B之间的最大距离是2L；
（3）若斜面长度有限，要使A、B仅能在斜面上发生两次碰撞，斜面长度的范围是5L≤x≤13L．

点评：本题的过程比较复杂，按时间顺序进行分析．关键要分析第一次碰后A、B的运动情况，根据动量守恒定律和机械能守恒列出等式，运用牛顿第二定律和运动学公式结合进行求解．