Question

如图所示，直线MN下方无磁场，上方空间存在两个匀强磁场，其分界线是半径为R的半圆，两侧的磁场方向相反且垂直于纸面，磁感应强度大小都为B．现有一质量为m、电荷量为q的带负电微粒从P点沿半径方向向左侧射出，最终打到Q点，不计微粒的重力．求：
（1）微粒在磁场中运动的周期；
（2）从P点到Q点，微粒的运动速度大小及运动时间；
（3）若向里磁场是有界的，分布在以O点为圆心、半径为R和2R的两半圆之间的区域，上述微粒仍从P点沿半径方向向左侧射出，且微粒仍能到达Q点，求其速度的最大值．

Answer 1

分析：（1）带电粒子在磁场中只受洛伦兹力，粒子在磁场中做匀速圆周运动．由牛顿第二定律和圆周运动规律求出周期．
（2）根据题意作出粒子可能的运动轨迹，由牛顿第二定律与数学知识分析答题．
（3）由几何知识分析轨迹半径的最大值，由半径公式求出速度的最大值．

解答：解：（1）由qvB=m

v2

r

及T=

2πr

v

得：
微粒在磁场中运动的周期  T=

2πm

qB

．
（2）令n表示带电粒子在磁场中运动时的圆心个数，则
由几何关系可知，微粒运动的轨道半径r应满足：r=Rtan

π

2n

，（n=2，3，4，5，…），
结合（1）可知，v=

qBr

m

=

qB

m

Rtan

π

2n

，（n=2，3，4，5，…）；
相应的运动轨迹所对应的圆心角φ满足：
①当n为偶数时，φ=（2π-

n-1

n

π）?

n

2

+

n-1

n

π?

n

2

=nπ；（n=2，4，6，8，…）
②当n为奇数时，φ=（2π-

n-1

n

π）?

n+1

2

+

n-1

n

π?

n-1

2

=

n2+1

n

π；（n=3，5，7，9，…）
对应的运动时间t满足：
①当n为偶数时，t=

n

2

T=

nπm

qB

，（n=2，4，6，8，…）；
②当n为奇数时，t=

n2+1

n

?

T

2

=

(n2+1)πm

nqB

；（n=3，5，7，9，…）
（3）由几何关系可知，r_n+

rn

sin π 2n

≤2R，（n=2，3，4，5，…）；
得：当n=3时，r可取满足条件的最大值，r_max=

3

3

R，
相应的粒子速度v_max=

3 qBR

3m

．
相应的运动轨迹如图所示．

答：
（1）微粒在磁场中运动的周期为

2πm

qB

；
（2）从P点到Q点，微粒的运动速度大小为

qB

m

Rtan

π

2n

，（n=2，3，4，5，…）；对应的运动时间；①当n为偶数时，t=

n

2

T=

nπm

qB

，（n=2，4，6，8，…）；②当n为奇数时，t=

n2+1

n

?

T

2

=

(n2+1)πm

nqB

；（n=3，5，7，9，…）
（3）速度的最大值是

3 qBR

3m

．

点评：此题对运动轨迹的特殊性研究到一般性探究，这是分析问题的一种方法．同时要利用圆的特性与物理规律相结合．本题是一道难题，根据题意作出粒子的运动轨迹是本题解题的难点，也是正确解题的关键．