Question

如图所示，金属杆MN放在用相同导体制成的金属框abcd上，bc边与x轴重合，且b为坐标原点，矩形框长为2L，宽为L，单位长度的电阻为R₀，磁感应强度为B的匀强磁场与框架平面垂直.现对MN杆施加沿x轴正方向的外力，使之从框架左端开始，以速度v向右匀速运动，不计摩擦.求：

（1）在MN杆运动过程中，通过杆的电流与坐标x的关系;

（2）作用在MN杆上的外力的最大值与最小值之比.

Answer 1

解析：（1）设在MN杆运动的过程中，任一时刻MN的坐标值为x，杆左侧框架的总电阻为R₁，右侧框架的总电阻为R₂,则

R₁=（L+2x)R₀;

R₂=［L+2(2L-x)］R₀=(5L-2x)R₀

杆MN相当于电源，所以回路总电阻为

R=+LR₀=+LR₀=R₀

又MN切割磁感线产生的感应电动势为E=BLv，

所以杆中的电流与坐标x的关系为I==.

（2）作用在杆上的外力大小应等于杆受的安培力.由数学知识可知，当x=L时，外电路总电阻最大，此时MN中的电流最小，所受的安培力也最小，此时I_min=

安培力的最小值F_min=ILB=

当x=0或x=2L时，外电路总电阻最小，此时MN中的电流最大，所受的安培力也最大.此时I_max=

安培力的最大值F_max=ILB=

所以作用在MN杆上的外力的最大值与

最小值之比为F_max∶F_min=15∶11.

答案：（1）I=

（2）15∶11