Question

如图是放置在竖直平面内游戏滑轨的模拟装置，滑轨由四部分粗细均匀的金属杆组成：水平直轨AB、半径分别为R₁ =1.0 m和R₂ = 3.0 m的弧形轨道，倾斜直轨CD长为L = 6 m且表面粗糙，动摩擦因数为μ=，其他三部分表面光滑，AB、CD与两圆形轨道相切。现有甲、乙两个质量为m=2 kg的小球穿在滑轨上，甲球静止在B点，乙球从AB的中点E处以v₀ =10 m/s的初速度水平向左运动。两球在整个过程中的碰撞均无能量损失。已知θ =37°。（取g=10 m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：

（1）甲球第一次通过⊙O₂的最低点F处时对轨道的压力；

（2）在整个运动过程中，两球相撞次数；

（3）两球分别通过CD段的总路程。

Answer 1

解：（1）甲乙两球在发生碰撞过程中由动量守恒和能量守恒可得：mv₀=mv₁+mv₂

可得：v₁=0  v₂=v₀或v₁=v₀  v₂=0  （舍去）

即交换速度。甲球从B点滑到F点的过程中，根据机械能守恒得：

+mgΔ h =

在F点对滑环分析受力，得F_N-mg =

由上面二式得：F_N=

根据牛顿第三定律得滑环第一次通过⊙O₂的最低点F处时对轨道的压力为。

（2）由几何关系可得倾斜直轨CD的倾角为37°，甲球或乙球每通过一次克服摩擦力做功为：

W_克=μmgLcosθ，得W_克=16 J

E_k0=  n==6.25

分析可得两球碰撞7次。

（3）由题意可得：滑环最终只能在⊙O₂的D点下方来回晃动，即到达D点速度为零，由能量守恒得：

+mgR₂(1 + cosθ) = μmgscosθ

解得：滑环克服摩擦力做功所通过的路程s=78 m

分析可得乙3次通过CD段，路程为18 m，所以甲的路程为60 m。

考查动量守恒定律、能量守恒定律、机械能守恒定律、牛顿运动定律的综合运用。