Question

如图所示，两根正对的距离为l的平行金属直轨道MN、M′N′位于同一水平面上，两端M、M′之间接一阻值为R的定值电阻，NN′端与两条位于竖直面内的半径均为R₀的半圆形光滑金属轨道NP、N′P′平滑连接．直轨道的右侧处于竖直向下、就磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场区域的宽度为s，且其右边界与NN′重合．现有一质量为m、电阻为r的导体杆ab静止在距磁场的左边界为s处．在与杆垂直的水平向右恒立F的作用下ab杆开始运动，当运动至磁场右边界时撤去F，结果导体杆ab恰好能以最小的速度通过半圆形轨道的最高点PP′．已知导体杆ab在运动过程中与轨道接触良好，且始终与轨道垂直，导体杆ab与直轨道之间的动摩擦因数为μ，轨道的电阻可忽略不计，重力加速度为g，求：
（1）导体杆刚进入磁场时，通过导体杆上的电流大小和方向；
（2）导体杆穿过磁场的过程中，整个电路中产生的焦耳热．

Answer 1

分析：（1）根据动能动力求出导体杆进入磁场时的速度，根据切割产生的感应电动势公式求出电动势的大小，结合闭合电路欧姆定律求出通过导体杆上的电流大小，根据右手定则判断感应电流的大小．
（2）因导体杆恰好通过半圆形轨道的最高点，知弹力为零，根据牛顿第二定律求出最高点的速度，根据机械能守恒定律求出穿过磁场区域的速度，从而求出穿过磁场损失的机械能，结合摩擦产生的内能，得出导体杆穿过磁场的过程中，整个电路中产生的焦耳热．

解答：解：（1）设导体杆在F的作用下运动至磁场左边界时的速度为v₁，根据动能定理有：
(F-μmg)s=

1

2

mv12
导体杆刚进入磁场时产生的感应电动势为：E=Blv₁
此时通过导体杆上的电流大小为：I=

E

R+r

=

Bl 2(F-μmg)s m

R+r

=

Bl 2(F-μmg)ms

m(R+r)

．
根据右手定则可知，电流的方向由b指向a．
（2）设导体杆离开磁场时的速度大小为v₂，运动到圆轨道最高点时的速度为v₃．
因导体杆恰好通过半圆形轨道的最高点，对导体杆在轨道最高点时，根据牛顿第二定律有：mg=m

v32

R0

导体杆从NN′运动至PP′的过程，根据机械能守恒定律有：

1

2

mv22=

1

2

mv32+mg?2R0
导体杆穿过磁场的过程中损失的机械能为：△E=

1

2

mv12-

1

2

mv22
此过程电路中产生的焦耳热为：Q=△E-μmgs=Fs-2μmgs-

5

2

mgR0．
答：（1）导体杆刚进入磁场时，通过导体杆上的电流大小为

Bl 2(F-μmg)ms

m(R+r)

，电流的方向由b指向a．
（2）导体杆穿过磁场的过程中，整个电路中产生的焦耳热为Fs-2μmgs-

5

2

mgR0．

点评：本题综合考查了机械能守恒定律、动能定理、牛顿第二定律、闭合电路欧姆定律、切割产生的感应电动势公式等，综合性较强，对学生的能力要求较高，需加强这方面的训练．