Question

如图所示，矩形区域MNPQ内有水平向右的匀强电场；在y≥0的区域内还存在垂直于坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B．半径为R的光滑绝缘空心半圆细管ADO固定在竖直平面内，半圆管的一半处于电场中，圆心O₁为MN的中点，直径AO垂直于水平虚线MN．一质量为m、电荷量为q的带正电小球（可视为质点）从半圆管的A点由静止滑入管内，从O点穿出后恰好通过O点正下方的C点．已知重力加速度为g，电场强度的大小E=

4mg

3q

．求：
（1）小球到达O点时，半圆管对它作用力的大小；
（2）从O点开始计时，经过多长时间小球运动到C点；
（3）矩形区域MNPQ的高度H和宽度L应满足的条件；
（4）从O点开始计时，经过多长时间小球的动能最小？

Answer 1

分析：（1）从A到O过程中，由动能定理，可求出O点速度；再由牛顿第二定律与向心力公式，即可求解；
（2）小球由O到C过程中，水平方向做匀减速运动，竖直方向做自由落体运动，根据运动学公式，即可求解；
（3）根据水平向左最大位移小于半径，结合几何关系与运动学公式，即可求解；
（4）以合力F_合方向、垂直于合力方向分别建立x-y坐标系，当F_合与速度v垂直时，小球的动能最小，根据运动学公式，结合三角函数，即可求解．

解答：解：（1）从A→O过程，由动能定理得：mg(2R)-qER=

1

2

mvo2
得：vo=

4gR 3

在O点，由：FN-mg-qvoB=

mvo2

R

得：FN=

7

3

mg+qB

4gR 3

（2）小球从O→C 过程：水平方向做匀减速运动，竖直方向做自由落体运动：ax=

4

3

ga_y=g
设向左减速时间为t，则：t=

vo

a

=

3R 4g

运动到C点的时间为：t/=2t=

3R g

（3）水平向左最大位移：x=

1

2

vot=

R

2

＜R，
因为圆心O₁为MN的中点，
所以宽度应满足条件：L≥R+R=2R
竖直位移大小：y=

1

2

g(2t)2=

3R

2

高度满足条件：H≥

3

2

R+R=

5

2

R；
（4）
以合力F_合方向、垂直于合力方向分别建立x-y坐标系，并将速度分别沿x、y方向分解，
当F_合与速度v垂直时，小球的动能最小，设经过的时间为t；
因

qE

mg

=cotθ=

4

3

考虑y方向的分运动初速度：voy=vocosθ=

4

5

4 3 gR

，末速度为零
加速度：ay=

g

sinθ

=

5

3

g
       t=

voy

ay

=

8

25

3R g

；
答：（1）小球到达O点时，半圆管对它作用力的大小：FN=

7

3

mg+qB

4gR 3

；
（2）从O点开始计时，经过

3R g

时间小球运动到C点；
（3）矩形区域MNPQ的高度H≥

5R

2

和宽度L≥2R应满足的条件；
（4）从O点开始计时，经过

8

25

3R g

时间小球的动能最小．

点评：考查动能定理的应用，注意过程的选取及功的正负；掌握牛顿第二定律与运动学公式的综合应用，并理解合成与分解的方法．
第（4）问题，还有其它方法：法二：当F_合与速度v的方向垂直时，小球的动能最小，设经过的时间为t，

qE

mg

=cotθ=

4

3

=

vy

vx

，vy=gt，vx=vo-axt=vo-

4g

3

t
可解得t=

8

25

3R g

法三：vy=gt，vx=vo-axt=vo-

4g

3

tv2=v2x+v2y=

25g2

9

t2-

8

3

g

4gR 3

t+

4gR

3

当t=

8

25

3R g

时，函数v²有最小值，动能有最小值．