Question

如图所示，竖直平面内有一半径为r、内阻为R₁、粗细均匀的光滑半圆形金属环，在M、N处与相距为2r、电阻不计的平行光滑金属轨道ME、NF相接，EF之间接有电阻R₂，已知R₁=12R，R₂=4R．在MN上方及CD下方有水平方向的匀强磁场I和II，磁感应强度大小均为B．现有质量为m、电阻不计的导体棒ab，从半圆环的最高点A处由静止下落，在下落过程中导体棒始终保持水平，与半圆形金属环及轨道接触良好，两平行轨道中够长．已知导体棒ab下落r/2时的速度大小为v₁，下落到MN处的速度大小为v₂．
（1）求导体棒ab从A下落r/2时的加速度大小．
（2）若导体棒ab进入磁场II后棒中电流大小始终不变，求磁场I和II之间的距离h和R₂上的电功率P₂．
（3）当导体棒进入磁场II时，施加一竖直向上的恒定外力F=mg的作用，求导体棒ab从开始进入磁场II到停止运动所通过的距离和电阻R₂上所产生的热量．

Answer 1

（1）以导体棒为研究对象，棒在磁场I中切割磁感线，棒中产生产生感应电动势，导体棒ab从A下落

r

2

时，导体棒在重力与安培力作用下做加速运动，由牛顿第二定律，得
mg-BIL=ma，式中l=

3

r
I1=

Blv1

R并1

R并1=

8R×(4R+4R)

8R+4R+4R

=4R
由以上各式可得到：a=g-

3B2r2v1

4mR

（2）当导体棒ab通过磁场II时，若安培力恰好等于重力，棒中电流大小始终不变，即mg=BI×2r
 I2=

2Brv3

R并2

，
公式中：R并2=

12R×4R

12R+3R

=3R
解得：v3=

mgR并2

4B2r2

=

3mgR

4B2r2

导体棒从MN到CD做加速度为g的匀加速直线运动，有

v

23

-

v

22

=2gh
得：h=

9m2gR2

32B4r4

-

v 22

2g

此时导体棒重力的功率为
 PG=mgvt=

3m2g2R

4B2r2

根据能量守恒定律，此时导体棒重力的功率全部转化为电路中的电功率，即
 P_电=P₁+P₂=P_G
 所以P2=

3

4

PG=

9m2g2R

16B2r2

（3）由动量定理得：-B

.

I

×2r×t=0-mv3
即：-B

B×2r× . v

R并2

×2r×t=-mv3
即：-

4B2r2

R并2

x=-mv3
联立，解得：x=

9m2gR2

16B4r4

停下来的过程中，重力做正功，外力和安培力做负功，由动能定理得：
mgx-Fx-W外=0-

1

2

m

v

23

所以产生的总热量为：Q=W外=

1

2

m

v

23

在电阻上产生的热量为：Q2=

3

4

Q=

27m3g2R2

128B4r4

答：（1）导体棒ab从A下落r/2时的加速度a=g-

3B2r2v1

4mR

；（2 ）h=

9m2gR2

32B4r4

-

v 22

2g

，P2=

9m2g2R

16B2r2

；（3）停止运动所通过的距离 x=

9m2gR2

16B4r4

，在电阻上产生的热量为  Q2=

27m3g2R2

128B4r4

．