Question

如图所示，一光滑水平面内有一半径为R的圆，一质量为m的物体（可看做质点）沿图中直线从圆上的a点射入圆形区域，在大小为F₁力作用下在该水平面内做匀速圆周运动，并从圆上的b点离开该区域，离开时速度方向与直线垂直．圆心O到直线的距离为

3

5

R，现将F₁改为平行于该平面且垂直于直线的恒力F₂，同一物体以同样的速度沿直线从a点射入圆形区域，也在b点离开该区域．求：
（1）物体做匀速圆周运动的半径；
（2）F₂大小．

Answer 1

分析：（1）过b点和O点做垂直于沿图中直线的垂线，分别于直线交与c和d点，由几何关系知，线段ac、bc和过a、b两点的轨迹圆弧的两条半径围成一正方形，由几何关系可以得到半径．
（2）粒子在F₂作用下做类平抛，由平抛规律可以表示出来其大小，再由匀速圆周运动表示出来F₁的大小，进而得到F₂．

解答：解：
（1）过b点和O点做垂直于沿图中直线的垂线，分别于直线交与c和d点，由几何关系知，线段ac、bc和过a、b两点的轨迹圆弧的两条半径围成一正方形，如图：
因此
ab=bc=r
设cd=x，圆心O到直线的距离为

3

5

R，则ad=

4

5

R，由几何关系得：
ac=

4

5

R+x
bc=

3

5

R+

R2-x2

联立解得：
r=

7

5

R
（2）粒子在F₂的作用下做类平抛运动，设其加速度大小为a，物体在圆形区域内运动的时间为t，由牛顿第二定律得：
F₂=ma①
由运动学公式得：
r=

1

2

at2②
r=vt③
由②③解得：
a=

2v2

r

带入①得：
F2=m

2v2

r

=

2mv2

r

粒子在水平面内做匀速圆周运动，设粒子在a点的速度为v，圆周的半径为r，由向心力公式得：
F1=m

v2

r

故：
F₂=2F₁
答：
（1）物体做匀速圆周运动的半径r=

7

5

R；
（2）F₂大小为2F₁．

点评：本题重点是对数学知识的应用，要求作图能力，数学几何能力都比较好才行，有点偏重数学了．