Question

18．“玉兔号”登月车在月球表面接触的第一步实现了中国人“奔月”的伟大梦想．机器人“玉兔号”在月球表面做了一个自由下落试验，测得物体从静止自由下落h高度的时间t，已知月球半径为R，自转周期为T，引力常量为G．则（　　）

• A． 月球表面重力加速度为$\frac{{t}^{2}}{2h}$
• B． 月球的第一宇宙速度为$\frac{{\sqrt{2hR}}}{t}$
• C． 月球同步卫星离月球表面高度$\root{3}{\frac{h{R}^{2}{T}^{2}}{2{π}^{2}{t}^{2}}}$-R
• D． 月球质量为$\frac{h{R}^{2}}{G{t}^{2}}$

Answer 1

分析 机器人自由下落h高度所用时间为t，根据：h=$\frac{1}{2}$gt² 求出月球表面的重力加速度g．
根据重力提供向心力$mg=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，可以计算月球的第一宇宙速度．
根据月球表面的物体受到的重力等于万有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$，计算月球的质量．
月球同步卫星绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{（R+h）}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R+h}$，化简可得月球同步卫星离月球表面高度h．

解答 解：A、由自由落体运动规律有：h=$\frac{1}{2}$gt²，所以有：$g=\frac{2h}{{t}^{2}}$，故A错误．
B、月球的第一宇宙速度为近月卫星的运行速度，根据重力提供向心力$mg=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，所以${v}_{1}=\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{2hR}{{t}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2hR}}{t}$，故B正确．
C、月球同步卫星绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{（R+h）}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R+h}$，解得h=$\root{3}{\frac{h{R}^{2}{T}^{2}}{2{π}^{2}{t}^{2}}}$-R，故C正确．
D、在月球表面的物体受到的重力等于万有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$，所以$\frac{g{R}^{2}}{G}=\frac{2h{R}^{2}}{{Gt}^{2}}$，故D错误．
故选：BC

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力和万有引力等于重力这两个理论，并能灵活运用．本题重点是利用好月球表面的自由落体运动，这种以在星球表面自由落体，或平抛物体，或竖直上抛物体给星球表面重力加速度的方式是比较常见的．