Question

（2005?烟台模拟）某行星表面没有气体，在它的表面附近作匀速圆周运动的卫星的环绕周期为T，如果宇航员在这个行星地面上以v的初速度竖直向上抛出一石块，石块向上运动的最大高度为h．已知万有引力恒量为G，求该行星的质量有多大．

Answer 1

分析：解：设行星半径为r，根据题意，它的卫星的轨道半径也为r．对石块研究，根据机械能守恒定律或匀变速运动的位移公式，可求得该行星表面的重力加速度g．根据行星表面向心力等于重力m

4π2

T2

r=mg，故可以r．再根据万有引力等于向心力F=G

Mm

r2

=m

4π2

T2

r，就可以求得行星的质量．

解答：解：设行星半径为r，根据题意，它的卫星的轨道半径也为r，设该行星表面的重力加速度为g、质量为M，卫星的质量为m，石块质量为m₁
根据机械能守恒定律  

1

2

m₁v²=m₁gh　　
得　g=

v2

2h

卫星的向心力F=mω²r=m

4π2

T2

r
向心力等于重力m

4π2

T2

r=mg　　
故　r=

gT2

4π2

也就是r=

v2T2

8hπ2

根据万有引力定律F=G

Mm

r2

=m

4π2

T2

r
由以上各式得　M=

v6T2

128Gπ4h3

答：该行星的质量为

v6T2

128Gπ4h3

．

点评：本题是卫星类型的问题，常常建立这样的模型：环绕天体绕中心天体做匀速圆周运动，由中心天体的万有引力提供向心力．重力加速度g是联系星球表面宏观物体运动和天体运动的桥梁．