Question

如图所示，水平桌面上有一轻弹簧，左端固定在A点，自然状态时其右端位于B点．水平桌面右侧某一位置有一竖直放置的、左上角有一开口的光滑圆弧轨道MNP，其半径为R=0.5m，∠PON=53°，MN为其竖直直径，P点到桌面的竖直距离是h=0.8m．如用质量m₁=0.4kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点，释放后物块恰停止在桌面边缘D点．现换用同种材料制成的质量为m₂=0.2kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点，释放后物块能飞离桌面并恰好由P点沿切线滑入光滑圆轨道MNP（g取10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6）．
（1）求物体m₂运动到M点时受到轨道的压力；
（2）求弹簧的弹性势能E_P；
（3）如圆弧轨道的位置以及∠PON可任意调节，使从C点释放又从D点滑出的质量为m=km₁物块都能由P点沿切线滑入圆弧轨道，并且还能通过最高点M，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）物体恰好无碰撞落到P点，其竖直分速度可以根据落体规律求解，然后根据速度偏转角求解水平分速度并得到P点速度，然后根据机械能守恒定律求解M点速度；
（2）对释放两个滑块过程分别运用动能定理列式（由C到D过程），联立方程组求解；
（3）先根据C到D过程机械能守恒列式，再根据D到M过程机械能守恒列式，能过最高点列式，最后联立方程组求解即可．

解答：解析：（1）设物块由D点以初速v_D做平抛，落到P点时其竖直速度为vy=

2gh

=4m/s
由于

vy

vD

=tan53°，解得v_D=3m/s
若物块到达M点速度为v_M，有vP=

v 2 D + v 2 y

=5m/s
P到M过程，机械能守恒

1

2

m2

v

2 M

+mg1.6R=

1

2

m2

v

2 P

解得：v_M=3m/s
轨道对物块的压力为F_N，则FN+m2g=m2

v 2 M

R

解得F_N=1.6N
（2）设弹簧长为AC时的弹性势能为E_P，物块与桌面间的动摩擦因数为μ，
释放m₁时，E_P=μm₁gS_CD
释放m₂时，EP-μm2gSCD=

1

2

m2

v

2 D

联立解得：EP=m2

v

2 D

=1.8J
（3）设质量为km₁的物块，到M点的最小速度为v，km1g=km1

v2

R

解得v=

gR

由机械能守恒定律，得到
EP-μkm1gSCD=

1

2

km1

v

2 D

能通过最高点
vD≥

gR

机械能守恒
EP(1-k)≥

1

2

km1gR
解得
1.8（1-k）≥k
即0＜k≤

9

14

答：（1）物体m₂运动到M点时受到轨道的压力为1.6N；
（2）求弹簧的弹性势能为1.8J；
（3）k的取值范围为0＜k≤

9

14

．

点评：本题关键要分析清楚物体的运动规律，然后多次运用机械能守恒定律列式，最后联立方程组求解即可．