Question

如图所示的竖直平面内有范围足够大、水平向左的匀强电场，在虚线的左侧有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感强度大小为B，一绝缘轨道由两段直杆和一半径为R的半圆环组成，固定在纸面所在的竖直平面内，PQ、MN水平且足够长，半圆环MAP在磁场边界左侧，P、M点在磁场边界线上，NMAP段光滑，PQ段粗糙。现在有一质量为m、带电荷量为+q的小环套在MN杆上，它所受电场力为重力的倍。现将小环从M点右侧的D点由静止释放，小环刚好能到达P点。

　　（1）求DM间距离x₀；

　　（2）求上述过程中小环第一次通过与O等高的A点时半圆环对小环作用力的大小；

　　（3）若小环与PQ间动摩擦因数为μ（设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等），现将小环移至M点右侧4R处由静止开始释放，求小环在整个运动过程中克服摩擦力所做的功。

Answer 1

（1）         （2）       （3）W=mgR   

   

解析:

（1）小环刚好到达P点时速度v_P=0，由动能定理得

　　qEx₀－2mgR＝0       

　　而   

　　所以           

　　（2）设小环在A点时的速度为v_A，由动能定理得

　　                 

　　因此                

　　设小环在A点时所受半圆环轨道的作用力大小为N，由牛顿第二定律得

　                            

　　所以得                  

　　（3）若f=μmg≥qE，即。小环第一次到达P点右侧s₁距离处静止，由动能定理得qE（4R－s₁）－2mgR－fs₁=0                  

　　而f=μmg，因此得                

　　设克服摩擦力所做的功为W，则                 

　　若f=μmg≤qE，即。环经过来回往复运动，最后只能在PD之间往复运动，设克服摩擦力所做的功为W，则

　　qE（4R）－mg（2R）－W=0                 

　　解得W=mgR