Question

10．A、B两球质量分别为m₁与m₂，用一劲度系数为K的弹簧相连，一长为L₁的细线与m₁相连，置于水平光滑桌面上，细线的另一端拴在竖直轴OO′上，如图所示，当m₁与m₂均以角速度ω绕OO′做匀速圆周运动时，弹簧长度为L₂．求：
（1）此时弹簧伸长量多大；
（2）绳子张力多大；
（3）将线突然烧断瞬间两球加速度各多大？

Answer 1

分析 （1、2）B球绕OO′做匀速圆周运动，靠弹簧的弹力提供向心力，求出弹簧的弹力，根据胡克定律即可得出弹簧的伸长量．A球在水平方向上受绳子的拉力和弹簧的弹力，两个力合力提供A球做圆周运动的向心力，从而求出绳子的拉力．
（3）绳子突然烧断的瞬间，绳子拉力立即消失，弹簧的弹力来不及发生变化，根据牛顿第二定律分别求出A球的合力，从而得出A球的加速度．

解答 解：（1）对B球有：F=m₂（L₁+L₂）ω ²，
又根据胡克定律得：F=kx
所以弹簧的形变量：x=$\frac{F}{K}$=$\frac{{{m}_{2}（{{L}_{1}+L}_{2}）ω}^{2}}{K}$；
（2）根据牛顿第二定律有，对A球有：T-F=${{{m}_{1}L}_{1}ω}^{2}$
解得：T=[m₂L₂+（m₁+m₂）L₁]ω²．
（3）烧断细绳的瞬间，拉力T=0，弹力F不变
根据牛顿第二定律，对A球有：a_A=$\frac{F}{{m}_{1}}$=$\frac{{{m}_{2}（{{L}_{1}+L}_{2}）ω}^{2}}{{m}_{1}}$．
对B球有：a_B=$\frac{F}{{m}_{2}}$=ω²（L₁+L₂）
答：（1）弹簧的形变量为$\frac{{{m}_{2}（{{L}_{1}+L}_{2}）ω}^{2}}{K}$；
（2）绳子张力为[m₂L₂+（m₁+m₂）L₁]ω²；
（3）线突然烧断瞬间A球的加速度大小为$\frac{{{m}_{2}（{{L}_{1}+L}_{2}）ω}^{2}}{{m}_{1}}$，B球的加速度大小是ω²（L₁+L₂）．

点评 解决本题的关键知道匀速圆周运动的向心力靠合力提供，以及知道在烧断细绳的瞬间，拉力立即消失，弹簧的弹力来不及改变，烧断细绳的前后瞬间弹力不变．