Question

侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运行，它的运行轨道距地面高度为h，已知地球半径为R，地面表面处的重力加速度为g，地球的自转周期为T．
（1）试求该卫星的运行速度；
（2）要使卫星在一天内将地面上赤道各处在日照条件下的情况全部拍下来，卫星在通过赤道上空时，卫星上的摄像机应拍摄地面上赤道圆周的弧长S是多少？

Answer 1

（1）设地球质量为M，卫星质量为m，卫星在运行时，
由万有引力提供向心力：G

Mm

(R+h)2

=m

v2

R+h

…①
设地球表面有个质量为m₀的物体，则：m₀g=G

Mm0

R2

…②
由①②式联立，卫星的运行速度为：v=

R

R+h

g(R+h)

…③
（2）设卫星的运动周期为T′，由万有引力提供向心力，
则：G

Mm

(R+h)2

=m(

2π

T′

)2(R+h)…④
由②④两式，得：T′=

2π

R

(R+h)3 g

…⑤
一天内侦察卫星经过有日照的赤道上空次数为：N=

T

T′

…⑥
摄像机每次应拍摄地面上赤道圆周的弧长为：S=

2πR

N

…⑦
由⑤⑥⑦式，得：S=

4π2

T

(R+h)3 g

答：（1）该卫星的运行速度是v=

R

R+h

g(R+h)

；
（2）卫星上的摄像机应拍摄地面上赤道圆周的弧长S是

4π2

T

(R+h)3 g