Question

一条宽度为L的河，水流速度为v_水，已知船在静水中的速度为v_船，那么：（1）怎样渡河时间最短？（2）若v_船>v_水，怎样渡河位移最小？（3）若v_船<v_水，怎样渡河船漂下的距离最短？

Answer 1

答案：
解析：

解析：（1）如图所示，设船头斜向上游与河岸成任意角θ．这时船速在垂直于河岸方向的速度分量为v1＝v船sinθ，渡河所需的时间为： t＝＝ 可以看出：L、v船一定时，t随sinθ增大而减小；当θ＝90°时，sinθ＝1（最大）．所以，船头与河岸垂直时，渡河时间最短． 最短时间： tmin＝ （2）如图所示，渡河的最小位移即河的宽度．为了使渡河位移等于L，必须使船的合速度v的方向与河岸垂直，即使沿河岸方向的速度分量＝0．这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ．根据三角函数关系有 v船cosθ－v水＝0 cosθ＝ θ＝arccos 因为0≤cosθ≤1，所以只有在v船>v水时，船才有可能垂直河岸渡过． （3）如果水流速度大于船在静水中的航行速度，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？如图所示，设船头与河岸成θ角，合速度v与河岸成a角（取小于90°的一边）．可以看出：a角越大，船漂下的距离x越短．那么在什么条件下a角最大呢？以v水的矢尖为圆心、v船为半径画圆，当v与圆相切时，a角最大．根据cosθ＝v船/v水，船头与河岸的夹角应为 θ＝arccos 船漂下的最短距离： xmin＝(v水－v船cosθ)· 此时渡河的最短位移： s＝＝