Question

如图所示，足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ与水平面成θ=30°角放置，一个磁感应强度B=1.00T的匀强磁场垂直穿过导轨平面，导轨上端M与P间连接阻值为R=0.30Ω的电阻，长L=0.40m、电阻r=0.10Ω的金属棒ab与MP等宽紧贴在导轨上，现使金属棒ab由静止开始下滑，其下滑距离与时间的关系如下表所示，导轨电阻不计，g=10m/s²

时间t（s）	0	0.10	0.20	0.30	0.40	0.50	0.60	0.70
下滑距离x（m）	0	0.02	0.08	0.17	0.27	0.37	0.47	0.57

求：（1）在0.4s时间内，通过金属棒ab截面的电荷量
（2）金属棒的质量
（3）在0.7s时间内，整个回路产生的热量．

Answer 1

分析：（1）根据法拉第电磁感应定律，求出感应电动势的平均值，由电量与电流的关系式q=

.

I

△t求解在0.4s时间内，通过金属棒ab截面的电荷量．
（2）根据数据可知，匀速直线运动的时间，从而求出匀速运动的速度，结合安培力的表达式，闭合电路欧姆定律与感应电动势的表达式，即可求解金属棒的质量；
（3）根据棒在下滑过程中，克服安培力做的功等于回路的焦耳热，由能量转化与守恒定律，即可求解在0.7s时间内，整个回路产生的热量．

解答：解：（1）根据法拉第电磁感应定律得：感应电动势的平均值

.

E

=

△Φ

△t

=

BL?x

△t

感应电流的平均值

.

I

=

. E

r+R

电荷量 q=

.

I

?△t=

BLx

R+r

由表中数据可知  x=0.27m
∴q=

BLx

R+r

=

1×0.4×0.27

0.3+0.1

C=0.27C；
（2）由表中数据可知，0.3s后棒作匀速运动的速度为：v=

△x

△t

=

0.1

0.1

=1m/s
  由mgsinθ-F=0；
安培力表达式：F=BIL；
由闭合电路欧姆定律得：I=

E

R+r

；
感应电动势为：E=BLv；
联立得，m=

B2L2v

(R+r)gsinθ

=

12×0．42×1

0.4×10×sin30°

=0.08kg；
（3）棒在下滑过程中，有重力和安培力做功，克服安培力做的功等于回路的焦耳热．则：
  mgsin30°?x₇-Q=

1

2

mv2-0
得：Q=mgsin30°?x₇-

1

2

mv2=0.08×10×0.57×0.5-

1

2

×0.08×12=0.416J
答：
（1）在0.4s时间内，通过金属棒ab截面的电荷量为0.27C．
（2）金属棒的质量为0.08C．
（3）在0.7s时间内，整个回路产生的热量为0.416J．

点评：本题是电磁感应中的力平衡问题，关键在于推导感应电荷量和安培力的计算式．并能读懂表格反映的运动情况．