Question

图中左边有一对平行金属板，两板相距为d，电压为V；两板之间有匀强磁场，磁感应强度大小为B₀，方向平行于板面并垂直于纸面朝里．图中右边有一边长为a的正三角形区域EFG（EF边与金属板垂直），在此区域内及其边界上也有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面朝里．假设一系列电荷量为q的正离子沿平行于金属板面、垂直于磁场的方向射入金属板之间，沿同一方向射出金属板之间的区域，并经EF边中点H射入磁场区域．不计重力．
（1）已知这些离子中的离子甲到达磁场边界EG后，从边界EF穿出磁场，求离子甲的质量．
（2）已知这些离子中的离子乙从EG边上的I点（图中未画出）穿出磁场，且GI长为

3

4

a．求离子乙的质量．
（3）若这些离子中的最轻离子的质量等于离子甲质量的一半，而离子乙的质量是最大的，问磁场边界上什么区域内可能有离子到达．

Answer 1

分析：（1）粒子做匀速直线运动，粒子处于受力平衡状态，所以电场力和磁场力大小相等，进入磁场后粒子做匀速圆周运动；
（2）由于I点将EG边按1比3等分，根据三角形的性质说明此轨迹的弦与EG垂直，由此可以分析求得离子乙的质量；
（3）根据半径公式R=

mv

Bq

离子的轨迹半径与离子质量成正比，所以质量在甲和最轻离子之间的所有离子都垂直边界EF穿出磁场，甲最远离H的距离．

解答：解：（1）粒子进入正交的电磁场做匀速直线运动，设粒子的速度为v，电场的场强为E₀，根据平衡条件得E₀q=B₀qv①
E0=

V

d

②
由①②化简得v=

V

B0d

③
粒子甲垂直边界EF进入磁场，又垂直边界EF穿出磁场，则轨迹圆心在EF上．粒子运动中经过EG，说明圆轨迹与EG相切，

在如图 的三角形中半径为R=acos30°tan15°④
tan15°=

1-cos30°

sin30°

=2-

3

⑤
连立④⑤化简得R=(

3

-

3

2

)a⑥
在磁场中粒子所需向心力由洛仑兹力提供，
根据牛顿第二定律得B0qv=mv2/(

3

-

3

2

)a⑦
连立③⑦化简得m=

qadBB0

V

(

3

-

3

2

)⑧
（2）由于I点将EG边按1比3等分，根据三角形的性质说明此轨迹的弦与EG垂直，

在如图的三角形中，有R=acos30°sin30°×

1

2

/cos30°=

a

4

⑨
同理m=

qadBB0

4V

⑩
（3）最轻离子的质量是甲的一半，根据半径公式R=

mv

Bq

离子的轨迹半径与离子质量成正比，
所以质量在甲和最轻离子之间的所有离子都垂直边界EF穿出磁场，甲最远离H的距离为(2

3

-3)a，
最轻离子最近离H的距离为(

3

-

3

2

)a，
所以在离H的距离为(2

3

-3)a到(

3

-

3

2

)a之间的E F边界上有离子穿出磁场．
比甲质量大的离子都从EG穿出磁场，其中甲运动中经过EG上的点最近，
质量最大的乙穿出磁场的1位置是最远点，
所以在EG上穿出磁场的离子都在这两点之间．

点评：本题考查带电粒子在匀强磁场中的运动，要掌握住半径公式、周期公式，画出粒子的运动轨迹后，几何关系就比较明显了．