Question

如图所示，直角坐标系xOy位于竖直平面内，在水平的x轴下方存在匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应强度为B，方向垂直xOy平面向里，电场线平行于y轴．一质量为m、电荷量为q的带正电的小球，从y轴上的A点水平向右抛出，经x轴上的M点进入电场和磁场，恰能做匀速圆周运动，从x轴上的N点第一次离开电场和磁场，MN之间的距离为L，小球过M点时的速度方向与x轴正方向夹角为θ．不计空气阻力，重力加速度为g，求：
（1）电场强度E的大小和方向；
（2）小球从A点抛出时初速度v₀的大小．

Answer 1

分析：（1）带电小球在受到重力、电场力、洛伦兹力共同作用下做匀速圆周运动，可得知电场力与重力是一对平衡力，从而可得知电场的方向；由二力平衡可求出电场的大小．
（2）先由几何关系表示出小球在复合场中做圆周运动的半径，结合半径公式和速度的分解，便可求出小球抛出时的初速度．

解答：解：
（1）小球在电场、磁场中恰能做匀速圆周运动，其所受电场力必须与重力平衡（恒力不能充当圆周运动的向心力），有：
qE=mg…①
E=

mg

q

…②
重力的方向是竖直向下的，电场力的方向则应为竖直向上，由于小球带正电，所以电场强度方向竖直向上．
（2）小球做匀速圆周运动，如图所示，O′为圆心，MN为弦长，∠MO′P=θ，
设半径为r，由几何关系知：

L

2r

=sinθ…③
小球做匀速圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，设小球做圆周运动的速率为v，有
qvB=

mv2

r

…④
由速度的合成与分解知

v0

v

=cosθ…⑤
由③④⑤式得：
v₀=

qBL

2m

cotθ
答：（1）电场强度E的大小为

mg

q

，方向竖直向上；
（2）小球从A点抛出时初速度v₀的大小为

qBL

2m

cotθ．

点评：该题考察到了复合场的问题，即在同一区域内同时存在电场、磁场和重力场三者中的任何两个，或三者都存在．此类问题看似简单，受力不复杂，但仔细分析其运动往往比较难以把握．
常用的处理方法：
1、建立带电粒子在复合场中运动的物理情景．
2、物理情（图）景与解析几何知识有机结合，将物理问题化归为数学问题．
思想方法：数理结合，建模和化归的思想方法．
解题思维流程：题给文字信息→建立物理图景→化归为几何问题→还原为物理结论（构建物理图景（模型）是关键、化归为几何问题是手段）．