Question

14．如图所示，有一块两个光学表面平行的光学元件，它对红光和紫光的折射率分别为n₁=$\frac{4}{3}$和n₂=$\frac{8}{5}$，今有一束宽度为α=3cm的红、紫混合光从其上表面以θ=53°的入射角入射，问此元件的厚度d至少为多大时，从光学元件下表面射出的红、紫两种光能分分离？（sin53°=0.8，cos53°=0.6，结果保留四位有效数字）

Answer 1

分析 已知入射角和折射率，根据折射定律求折射角．玻璃对紫光偏折角大，对红光偏折角小，当玻璃砖达到一定厚度后，两种色光在玻璃砖下表面会交叠，作出刚好不交叠时的光路图，由几何知识求出玻璃砖的最小厚度．

解答 解：根据折射定律n=$\frac{sini}{sinr}$得：sinr=$\frac{sini}{n}$，折射角为r=arcsin$\frac{sini}{n}$
将i=θ=45°，n₁=$\frac{4}{3}$和n₂=$\frac{8}{5}$，代入得：
红光与紫光的折射角分别为：
 r₁=arcsin$\frac{3\sqrt{2}}{8}$
 r₂=arcsin$\frac{5\sqrt{2}}{16}$
当光束从玻璃板下表面出射时恰好能分成不交叠的两束时，玻璃砖的厚度为d，作出光路图如图．
根据几何知识得：$\sqrt{2}$a=dtanr₁-dtanr₂  ①
由 r₁=arcsin$\frac{3\sqrt{2}}{8}$得，tanr₁=$\frac{3\sqrt{23}}{23}$≈0.6263 ②
由r₂=arcsin$\frac{5\sqrt{2}}{16}$得 tanr₂=$\frac{15\sqrt{238}}{476}$≈0.4862 ③
由①②③解得，d=10.10a
答：此元件的厚度d至少为10.10a时，从光学元件下表面射出的红、紫两种光能分分离．

点评 本题作出光路图，运用几何知识和折射定律结合进行求解，是几何光学问题常用的方法和思路．