Question

如图甲，两光滑的平行导轨MON与PO′Q，其中ON、O′Q部分是水平的，倾斜部分与水平部分用光滑圆弧连接，QN两点间连电阻R，导轨间距为L．水平导轨处有两个匀强磁场区域Ⅰ、Ⅱ（分别是cdef和hgjk虚线包围区），磁场方向垂直于导轨平面竖直向上，Ⅱ区是磁感强度B₀的恒定的磁场，Ⅰ区磁场的宽度为x₀，磁感应强度随时间变化．一质量为m，电阻为R的导体棒垂直于导轨放置在磁场区中央位置，t=0时刻Ⅰ区磁场的磁感强度从B₁大小开始均匀减小至零，变化如图乙所示，导体棒在磁场力的作用下运动的v-t图象如图丙所示．
（1）求出t=0时刻导体棒运动加速度a．
（ 2）求导体棒穿过Ⅰ区磁场边界过程安培力所做的功和将要穿出时刻电阻R的电功率．
（3）根据导体棒运动图象，求棒的最终位置和在0-t₂时间内通过棒的电量．

Answer 1

（1）t=0时刻 E=

△Φ

△t

=

B1

t0

?

Lx0

2

，I=

E

2R

ab棒受到向左的安培力 F=B1IL=

B 21 L2x0

4Rt0

ab棒向左的加速度 a=

F

m

=

B 21 L2x0

4mRt0

（2）

1

2

t₀时刻导体棒穿出磁场速度为v₀，由动能定理，安培力的功为W=

1

2

m

v

20

将要穿出磁场Ⅰ区时电动势为E=

△Φ

△t

-BLv=

B1Lx0

t0

-

B1Lv0

2

I=

E

2R

，P=I2R=

1

4R

(

B1Lx0

t0

-

B1Lv0

2

)2
（3）设磁场Ⅱ区宽度为x₁，棒在Ⅱ区任一时刻速度为v，E=BLv，I=

B0Lv

2R

棒受到向右安培力 F=B0IL=

B02L2v

2R

加速度大小a=

B02L2v

2mR

△v=-a△t=

-B02L2v

2mR

△t
穿过磁场Ⅱ区全程
∑△v=

1

2

v0-v0=

B02L2

2mR

∑△x=

-B02L2

2mR

x1
x1=

mRv0

B 20 L2

棒从斜面返回磁场Ⅱ初速度

1

2

v₀，同理可知，经过x₁位移速度减为零，所以停在Ⅱ区右端
又 E=

△Φ

△t

，I=

E

2R

△Q=I△t=

△Φ

2R

0-t₂时间内 △Φ 1=-

B1Lx0

2

，△Φ 2=B0Lx1=

mRv0

B0L

△Q=

mv0

2B0L

-

B1Lx0

4R

答：（1）开始时刻导体棒运动加速度a为

B 21 L2x0

4mRt0

；
（ 2）导体棒穿过Ⅰ区磁场边界过程安培力所做的功为

1

2

m

v

20

，将要穿出时刻电阻R的电功率为

1

4R

(

B1Lx0

t0

-

B1Lv0

2

)2；
（3）棒的最终位置在Ⅱ区右端，在0-t₂时间内通过棒的电量为

mv0

2B0L

-

B1Lx0

4R

．